Convergenza assoluta di una serie
ciao a tutti!!! 
Avrei un problemino su questa serie, ovvero, non so se è giusto come la risolvo...
la serie è: $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n) $
Allora ho messo tale serie in valore assoluto perchè per grandi valori di n può essere che $e^(1/n)$ sia più piccolo di $-1-1/n) $.
Poi per controllare la convergenza assoluta ho posto $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n) <= sum_(n = 1)^(oo) (1/n^2) $, ed infatti, $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n-1/n^2)<=0 $ C.V. dato che essendo la $ sum_(n = 1)^(oo) (1/n^2) $ convergente anche $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n)$ lo sarà
e quindi la serie converge assolutamente e semplicemente...giusto???
spero di non aver scritto cavolate immonde XD
Ciao!!!
Avrei un problemino su questa serie, ovvero, non so se è giusto come la risolvo...
la serie è: $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n) $
Allora ho messo tale serie in valore assoluto perchè per grandi valori di n può essere che $e^(1/n)$ sia più piccolo di $-1-1/n) $.
Poi per controllare la convergenza assoluta ho posto $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n) <= sum_(n = 1)^(oo) (1/n^2) $, ed infatti, $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n-1/n^2)<=0 $ C.V. dato che essendo la $ sum_(n = 1)^(oo) (1/n^2) $ convergente anche $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n)$ lo sarà
e quindi la serie converge assolutamente e semplicemente...giusto???
spero di non aver scritto cavolate immonde XD
Ciao!!!
Risposte
"Hiei":
ciao a tutti!!!
Avrei un problemino su questa serie, ovvero, non so se è giusto come la risolvo...
la serie è: $ sum_(n = 1)^(oo) (e^(1/n)-1-1/n) $
Allora ho messo tale serie in valore assoluto perchè per grandi valori di n può essere che $e^(1/n)$ sia più piccolo di $-1-1/n) $.
Non mi trovo con quello che dici!
La successione esponenziale è sempre positiva come fa ad essere più piccola di $-1-1/n$? E poi se anche così fosse lo dovresti sempre dimostrare, non basta supporre una cosa!
Detto questo direi che puoi anche risparmiarti lo studio della convergenza assoluta e procedere sviluppando in serie $e^(1/n)$, in modo che: $sum_(n=1)^(+oo)(e^(1/n)-1-1/n) \sim sum_(n=1)^(+oo)1/(2n^2)$
e che l'esercizio chiede esplicitamente di calcolare la convergenza assoluta e semplice della serie e quindi ho fatto quel ragionamento. Comunque utilizzare il criterio del confronto è sbagliato???
Puoi usare il criterio del confronto asintotico direttamente, che ti semplifica notevolmente il termine generale della serie, questo si. Sia per la convergenza assoluta che per la quella normale...tanto sono legate in qualche modo ^_^
ok grazie mille...chiaro!!!
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