Convergenza assoluta di una serie?

[qwerty901]

1) Non capisco mai quando applicare il criterio dell'assoluta convergenza.... In teoria una serie a segni positivi non è logico che sia assolutamente convergente?
Per esempio :
la serie armonica $ sum_(n=1)^ infty frac{1}{n^2}$
converge semplicemente...
Ma se gli applico il valore assoluto
$ sum_(n=1)^ infty |frac{1}{n^2}|$
non converge assolutamente?

Io di solito applico il criterio dell'assoluta convergenza a termini di cui non è noto il segno ...tipo le funzioni seno e coseno.

2)
Non ho ben capito perchè il libro confronta a suo piacimento le serie con serie geometriche.
Mi spiego meglio

1° esempio:
$sum_(n=1) ^infty log(n) / n^2$
la confronta con $n ^(3/2)$ e la serie gli risulta convergente.

2° esempio:
$sum_(n=1) ^infty log(n) / n$
la confronta con n e gli risulta divergente.

Ora perchè nel secondo esempio non l'ha confrontata con $n^2 $ così da venirgli convergente?

che criterio si usa per scegliere la serie da confrontare? Nel 1° esempio se prendeva al posto di $n^(3/2)$ un $n^2 $gli risultava pure divergente.

3° esempio (confronto con infinitesimi)
$sum_(n=1)^infty frac{2}{n} - sen(frac{1}{n})$

la confronta con la serie geometrica $n^p $ e in particolare con $n$ con $p = 1$ quindi
$sum_(n=1)^infty n*[frac{2}{n} * sen(frac{1}{n})]$ = 1 quindi la serie diverge.

4° esempio (confronto con infinitesimi)
$sum_(n=1)^infty frac{1}{n} - sen(frac{1}{n})$

Al posto di fare come prima(moltiplicare per $n$ e quindi il limite farebbe 0 e dunque la serie risulterebbe divergente), se lo scompone con taylor e dopo vari passaggi gli viene $frac{1}{6}$

Adesso mi chiedo, come faccio a capire in generale cosa devo fare??


Qualcuno mi chiarisce le idee?
Grazie

[misanino]

Ovviamente per una serie a termini positivi convergere e basta o convergere assolutamente è la stessa cosa.
Il problema è se la serie non è tutta a termini positivi.
In quel caso applicare il criterio di assoluta convergenza può fare la differenza. (Ad esempio se vuoi stabilire se per $1
Per quanto riguarda il secondo quesito, non è che il libro confronta le serie a piacere.
Tu devi guardare una serie e cercare di capire se converge o diverge.
Se pensi che converga dovra trovare una serie "maggiore o uguale" di quella di partenza che converga.
Se pensi che una serie diverga devi trovare una serie divergente "minore o uguale" di quella di partenza.
Ad esempio prendiamo l'esempio che hai fatto tu, cioè $\sum log(n)/n^2$.
Voglio provare che questa serie converge.
Ora so che definitivamente il logaritmo è più "piccolo" di ogni potenza di x, cioè per $n$ grande si ha $log(n) Allora posso dire che definitivamente $log(n) Perciò $\sum log(n)/n^2<\sum n^(1/2)/n^2=\sum 1/n^(3/2)$ che converge.
E quindi converge anche la tua serie iniziale.

[qwerty901]

ok grazie mille.Ma nel 3° e 4° esempio avrei messo la mano sul fuoco che divergesse, mentre in realtà converge

[qwerty901]

"misanino":
Ora so che definitivamente il logaritmo è più "piccolo" di ogni potenza di x, cioè per $n$ grande si ha $log(n) Allora posso dire che definitivamente $log(n)

Perchè hai preso $k = 1/2$ e non per esempio $k=1$ ? Chi lo vieta?

[misanino]

"qwerty90":[quote="misanino"]
Ora so che definitivamente il logaritmo è più "piccolo" di ogni potenza di x, cioè per $n$ grande si ha $log(n) Allora posso dire che definitivamente $log(n)

Perchè hai preso $k = 1/2$ e non per esempio $k=1$ ? Chi lo vieta?[/quote]

Non lo vieta nessuno, ma non serve a nulla.
Supponiamo come dici tu che io prenda k=1.
Allora ho $\sum log(n)/n^2<\sum n/n^2=\sum 1/n$ che diverge.
Perciò la nostra serie di partenza è minore di una serie divergente.
Questo non ci dice nulla.
Infatti la serie di partenza può essere convergente (e quindi minore di una serie divergente)
oppure può essere divergente, ma divergente in "modo meno forte" della serie divergente più grande che abbiamo trovato.
Così non abbiamo concluso nulla

[qwerty901]

"misanino":

Non lo vieta nessuno, ma non serve a nulla.
Supponiamo come dici tu che io prenda k=1.
Allora ho $\sum log(n)/n^2<\sum n/n^2=\sum 1/n$ che diverge.
Perciò la nostra serie di partenza è minore di una serie divergente.
Questo non ci dice nulla.
Infatti la serie di partenza può essere convergente (e quindi minore di una serie divergente)
oppure può essere divergente, ma divergente in "modo meno forte" della serie divergente più grande che abbiamo trovato.
Così non abbiamo concluso nulla

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