Convergenza assoluta
Avrei un dubbio teorico riguardo la convergenza assoluta.
Abbiamo una serie di cui studiarne il carattere. Sappiamo che una serie converge assolutamente se la stessa serie in valore assoluto converge e sappiamo che se una serie converge assolutamente, allora converge anche la serie '' principale '' (ma non vale il viceversa).
Ora, considerando che per lo studio della convergenza semplice e assoluta posso usare gli stessi teoremi (io uso della radice, del confronto, degli infinitesimi e del rapporto), non mi è ben chiaro quale possa essere una serie che converge solo semplicemente e non assolutamente. Perciò vi chiedo:
- Una serie che converge ma non assolutamente, è diversa in valore assoluto, giusto?
- Quando vado a studiare la relativa serie in valore assoluto, come posso capire se cambia qualche segno o cose del genere all'interno della serie? Ovvero è esatto scrivere un'uguaglianza del genere:
$| sum_{n=1}^(+oo) ((2n-1)/(2n+1))^(n^2) | = sum_{n=1}^(+oo) ((2n-1)/(2n+1))^(n^2)$
Io penso sia esatto in quanto per ogni $n >=1$ quella serie ha valori maggiori di zero. E' corretto dire così?
Vi ringrazio per le future risposte.
Abbiamo una serie di cui studiarne il carattere. Sappiamo che una serie converge assolutamente se la stessa serie in valore assoluto converge e sappiamo che se una serie converge assolutamente, allora converge anche la serie '' principale '' (ma non vale il viceversa).
Ora, considerando che per lo studio della convergenza semplice e assoluta posso usare gli stessi teoremi (io uso della radice, del confronto, degli infinitesimi e del rapporto), non mi è ben chiaro quale possa essere una serie che converge solo semplicemente e non assolutamente. Perciò vi chiedo:
- Una serie che converge ma non assolutamente, è diversa in valore assoluto, giusto?
- Quando vado a studiare la relativa serie in valore assoluto, come posso capire se cambia qualche segno o cose del genere all'interno della serie? Ovvero è esatto scrivere un'uguaglianza del genere:
$| sum_{n=1}^(+oo) ((2n-1)/(2n+1))^(n^2) | = sum_{n=1}^(+oo) ((2n-1)/(2n+1))^(n^2)$
Io penso sia esatto in quanto per ogni $n >=1$ quella serie ha valori maggiori di zero. E' corretto dire così?
Vi ringrazio per le future risposte.
Risposte
Un esempio di una serie che converge semplicemente ma non assolutamente, è il seguente:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n};\]
evidentemente la serie non è a termini positivi, è a segni alterni; considerando il valore assoluto del termine generale hai che:
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n},\]
che è una serie divergente. Tuttavia la serie converge per il criterio di Leibniz, quindi converge semplicemente, ma non assolutamente.
La serie che hai scritto tu è a termini positivi, quindi prenderne il valore assoluto è inessenziale.
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n};\]
evidentemente la serie non è a termini positivi, è a segni alterni; considerando il valore assoluto del termine generale hai che:
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n},\]
che è una serie divergente. Tuttavia la serie converge per il criterio di Leibniz, quindi converge semplicemente, ma non assolutamente.
La serie che hai scritto tu è a termini positivi, quindi prenderne il valore assoluto è inessenziale.
Quindi solo le serie a termini non positivi sono soggette ad una variazione sostanziale quando passano in valore assoluto?
non ho capito la domanda
Si scusami..
Volevo dire, nel '' passaggio '' da serie normale a serie in valore assoluto, la variazione sostanziale avviene solo se la funzione non è a termini non negativi. Giusto? Dato che il valore assoluto è sempre non negativo, se la serie di base è a termini non negativi non varierà nel passaggio al valoer assoluto.
Volevo dire, nel '' passaggio '' da serie normale a serie in valore assoluto, la variazione sostanziale avviene solo se la funzione non è a termini non negativi. Giusto? Dato che il valore assoluto è sempre non negativo, se la serie di base è a termini non negativi non varierà nel passaggio al valoer assoluto.
esattamente; ad esempio studiare la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2},\]
o la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|,\]
è la stessa cosa poichè
\[ \left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}.\]
In realtà, i criteri di convergenza per le serie a termini positivi sono criteri di convergenza assoluta.
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2},\]
o la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|,\]
è la stessa cosa poichè
\[ \left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}.\]
In realtà, i criteri di convergenza per le serie a termini positivi sono criteri di convergenza assoluta.
Perfetto, grazie mille Noise. Gentile come sempre.
Noise, riuppo per una domanda: nel caso in cui una serie non è a termini non negativi e quindi il valore assoluto non è così inessenziale, come posso trasformare? Mi faresti un esempio perfavore?
Grazie!
Grazie!
Consideriamo la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1};
\end{align*}
non è a termini positivi, in quanto la il seno altera il segno del termine generale, oscillando tra $-1$ e $1;$ considerando la convergenza assoluta, ricordando che $\sin x<1,\forall x,$si ha che:
\begin{align*}
\left|\frac{\sin n}{n^4+1}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{\left|n^4+1\right|} =\frac{\left|\sin n\right|}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4} ,
\end{align*}
e poichè la serie di termine generale $1/n^4,$ risulta conergente in quanto serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno, la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.
E' importante sottolineare che il teorema non è invertibile, cioè può accadere che la serie $\sum a_n $ sia convergente, ma non lo sia la serie $\sum |a_n|.$ Ad esempio, considerando la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
applicando il criterio della convergenza assoluta ottenimo:
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n\right|}{\left|\sqrt n\right|} =\frac{\left|(-1)^n\right|}{\sqrt n} =\frac{1}{\sqrt n } ,
\end{align*}
e in questo caso, la serie dei valori assoluti è una serie armonica divergente, e quindi la serie risulta assolutamente divergente, fatto che non ci permetta di concludere nulla. Quindi in questo caso è necessario intraprendere un altra via per studiare il carattere della serie, e in questo caso ci soccorre il criterio dovuto a Leibniz: infatti si verifaca che il termine $a_n $ del termine generale è infinitesimo e definitivamente decrecente, ovvero, per ogni $\forall n\in\NN,$ si ha che $ a_{n+1}
\frac{1}{\sqrt {n+1}}< \frac{1}{\sqrt {n}}\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt {n+1}>\sqrt {n},\quad\forall n\in\mathbb{N};
\end{align*}
verificando queste ipotesi, si può concludere che la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1};
\end{align*}
non è a termini positivi, in quanto la il seno altera il segno del termine generale, oscillando tra $-1$ e $1;$ considerando la convergenza assoluta, ricordando che $\sin x<1,\forall x,$si ha che:
\begin{align*}
\left|\frac{\sin n}{n^4+1}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{\left|n^4+1\right|} =\frac{\left|\sin n\right|}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4} ,
\end{align*}
e poichè la serie di termine generale $1/n^4,$ risulta conergente in quanto serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno, la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.
E' importante sottolineare che il teorema non è invertibile, cioè può accadere che la serie $\sum a_n $ sia convergente, ma non lo sia la serie $\sum |a_n|.$ Ad esempio, considerando la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
applicando il criterio della convergenza assoluta ottenimo:
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n\right|}{\left|\sqrt n\right|} =\frac{\left|(-1)^n\right|}{\sqrt n} =\frac{1}{\sqrt n } ,
\end{align*}
e in questo caso, la serie dei valori assoluti è una serie armonica divergente, e quindi la serie risulta assolutamente divergente, fatto che non ci permetta di concludere nulla. Quindi in questo caso è necessario intraprendere un altra via per studiare il carattere della serie, e in questo caso ci soccorre il criterio dovuto a Leibniz: infatti si verifaca che il termine $a_n $ del termine generale è infinitesimo e definitivamente decrecente, ovvero, per ogni $\forall n\in\NN,$ si ha che $ a_{n+1}
\frac{1}{\sqrt {n+1}}< \frac{1}{\sqrt {n}}\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt {n+1}>\sqrt {n},\quad\forall n\in\mathbb{N};
\end{align*}
verificando queste ipotesi, si può concludere che la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
Ti ringrazio per il post esplicativo.
Tra l'altro quando verifico '' la differenza '' tra la serie in valore assoluto e no, devo comunque tenere conto del fatto che devo considerare solo determinati valori di $n$, che caratterizzano appunto la sommatoria. Giusto?
Ovvero se ho una sommatoria di $n$ che va da $1$ a $+oo$ e la serie sarebbe a termini negativi con $n=0$, non considerando lo $0$ nella sommatira posso dire che quella serie è a termini non negativi.
Tra l'altro quando verifico '' la differenza '' tra la serie in valore assoluto e no, devo comunque tenere conto del fatto che devo considerare solo determinati valori di $n$, che caratterizzano appunto la sommatoria. Giusto?
Ovvero se ho una sommatoria di $n$ che va da $1$ a $+oo$ e la serie sarebbe a termini negativi con $n=0$, non considerando lo $0$ nella sommatira posso dire che quella serie è a termini non negativi.
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