Convergenza alla $delta$ di Dirac.
Salve,
ho un problema con questo esercizio:
"Si dimostri che la successione $y_n (t) = 1/(t - i/n)$ converge debolmente alla successione $v.p. 1/x + i pi delta(t)$."
Il testo suggerisce di dividere $y_n (t)$ in parte reale ed immaginaria, e di considerare poi i due contributi separatamente.
Razionalizzando, riscrivo la successione in questo modo: $y_n (t) = (n^2 t)/(1 + n^2 t^2) + i n/(1 + n^2 t^2)$.
La parte reale converge al termine $1/x$:
$lim_(n->infty) (n^2 t)/(1 + n^2 t^2) = 1/t$
[Primo dubbio: perchè il testo fa distinzione fra $t$ ed $x$?].
Per la parte immaginaria, considero $S$ come spazio per le "test functions" di $delta$, ovvero l'insieme delle funzioni $phi(t)$ di classe $C^(infty) [R]$
(nonchè infinitamente differenziabili) che decrescono all'infinito più velocemente di qualunque potenza. La $delta$ associa alla funzione $phi(t)$ il valore $phi
(0)$.
Ho quindi:
$lim_(n->+infty) |int_(-infty)^(+infty) Im(y_n(t)) phi(t) dt - pi phi(0)| = lim_(n->+infty)|int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) phi(t) dt - pi phi(0)|
Verifico che
$int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) dt = pi$, quindi posso scrivere:
$lim_(n->+infty) |int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) [phi(t) - phi(0)] dt|$
Ora, applicando la diseguaglianza triangolare, posso maggiorare l'espressione precedente con (trascuro il simbolo di limite per comodità):
$int_(-infty)^(+infty) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt
A questo punto separo l'intervallo di integrazione:
$int_(|t|<1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt + int_(|t|>1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt$
Il primo pezzo, al crescere di $n$, tende a zero, perchè la funzione $phi(t)$ è forzata a tendere a $phi(0)$ (dove per ipotesi è continua). Posso infatti effettuare questa ulteriore maggiorazione:
$max_(-1/n<=t<=1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| int_(|t|<1/n) |phi(t) - phi(0)|dt = n int_(|t|<1/n) |phi(t) - phi(0)|dt$
[Secondo dubbio: sono autorizzato a dire che l'integrale va a zero più rapidamente di quanto $n$ non vada a infinito?]
Per l'altro pezzo, posso semplicemente affermare che tende a zero perchè l'integrando è sommabile? Questo è il grosso terzo dubbio.
Vi prego di aiutarmi e vi ringrazio fin d'ora.
ho un problema con questo esercizio:
"Si dimostri che la successione $y_n (t) = 1/(t - i/n)$ converge debolmente alla successione $v.p. 1/x + i pi delta(t)$."
Il testo suggerisce di dividere $y_n (t)$ in parte reale ed immaginaria, e di considerare poi i due contributi separatamente.
Razionalizzando, riscrivo la successione in questo modo: $y_n (t) = (n^2 t)/(1 + n^2 t^2) + i n/(1 + n^2 t^2)$.
La parte reale converge al termine $1/x$:
$lim_(n->infty) (n^2 t)/(1 + n^2 t^2) = 1/t$
[Primo dubbio: perchè il testo fa distinzione fra $t$ ed $x$?].
Per la parte immaginaria, considero $S$ come spazio per le "test functions" di $delta$, ovvero l'insieme delle funzioni $phi(t)$ di classe $C^(infty) [R]$
(nonchè infinitamente differenziabili) che decrescono all'infinito più velocemente di qualunque potenza. La $delta$ associa alla funzione $phi(t)$ il valore $phi
(0)$.
Ho quindi:
$lim_(n->+infty) |int_(-infty)^(+infty) Im(y_n(t)) phi(t) dt - pi phi(0)| = lim_(n->+infty)|int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) phi(t) dt - pi phi(0)|
Verifico che
$int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) dt = pi$, quindi posso scrivere:
$lim_(n->+infty) |int_(-infty)^(+infty) n/(1 + n^2 t^2) [phi(t) - phi(0)] dt|$
Ora, applicando la diseguaglianza triangolare, posso maggiorare l'espressione precedente con (trascuro il simbolo di limite per comodità):
$int_(-infty)^(+infty) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt
A questo punto separo l'intervallo di integrazione:
$int_(|t|<1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt + int_(|t|>1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| |phi(t) - phi(0)|dt$
Il primo pezzo, al crescere di $n$, tende a zero, perchè la funzione $phi(t)$ è forzata a tendere a $phi(0)$ (dove per ipotesi è continua). Posso infatti effettuare questa ulteriore maggiorazione:
$max_(-1/n<=t<=1/n) |n/(1 + n^2 t^2)| int_(|t|<1/n) |phi(t) - phi(0)|dt = n int_(|t|<1/n) |phi(t) - phi(0)|dt$
[Secondo dubbio: sono autorizzato a dire che l'integrale va a zero più rapidamente di quanto $n$ non vada a infinito?]
Per l'altro pezzo, posso semplicemente affermare che tende a zero perchè l'integrando è sommabile? Questo è il grosso terzo dubbio.
Vi prego di aiutarmi e vi ringrazio fin d'ora.
Risposte
per la seconda parte... non è forse più facile scrivere
[tex]$\int_\mathbb{R} \frac{n}{1+(n x)^2} \varphi (x) dx = \int_\mathbb{R} \frac{1}{1+y^2} \varphi(\frac{y}{n}) dy $[/tex] che per [tex]$n \rightarrow +\infty$[/tex] grazie alla convergenza dominata tende a [tex]$\int_\mathbb{R} \frac{1}{1+y^2} \varphi(0) dy = \varphi(0)\pi = <\pi \delta(x), \phi(x)>$[/tex]
Comunque io avrei utilizzato come spazio delle funzioni di test [tex]$\mathcal{D}(\mathbb{R})$[/tex], e poi eventualmente avrei testato il fatto che fosse una distribuzione temperata.
Per il primo dubbio, penso che sia un banale errore di battitura.
[tex]$\int_\mathbb{R} \frac{n}{1+(n x)^2} \varphi (x) dx = \int_\mathbb{R} \frac{1}{1+y^2} \varphi(\frac{y}{n}) dy $[/tex] che per [tex]$n \rightarrow +\infty$[/tex] grazie alla convergenza dominata tende a [tex]$\int_\mathbb{R} \frac{1}{1+y^2} \varphi(0) dy = \varphi(0)\pi = <\pi \delta(x), \phi(x)>$[/tex]
Comunque io avrei utilizzato come spazio delle funzioni di test [tex]$\mathcal{D}(\mathbb{R})$[/tex], e poi eventualmente avrei testato il fatto che fosse una distribuzione temperata.
Per il primo dubbio, penso che sia un banale errore di battitura.
Grazie per la risposta. Non avrei mai pensato a quel cambio di variabile (che, fra l'altro, ho comunque utilizzato per verificare che l'integrale è uguale a $pi$).
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