Convergenza
Ciao a tutti..
ho degli esercizi, mai visti prima, che mi chiedono di trovare per quali valori di $gamma>0$, ho la convergenza di una serie o di un integrale...
come si svolgono?
ho degli esercizi, mai visti prima, che mi chiedono di trovare per quali valori di $gamma>0$, ho la convergenza di una serie o di un integrale...
come si svolgono?
Risposte
Perchè non riporti il testo di un esercizio ed una tua idea circa lo svolgimento? 
questi sono i due tipi di esercizi
$\int_{0}^{infty} ((1-e^(-z^gamma))^gamma)/x^(2*gamma)$
e $\sum_{n=1}^infty 1/(2^n+n^(7*gamma))$
il primo sinceramente non so nemmeno da che parte iniziare... il secondo ho pensato che prima devo trovare per quali valori il denominatore è maggiore di 0 e quindi esiste.. ma non so se è giusto.. è un argomento che il prof non ha spiegato quando ho seguito io, quindi sono un po in difficoltà...
$\int_{0}^{infty} ((1-e^(-z^gamma))^gamma)/x^(2*gamma)$
e $\sum_{n=1}^infty 1/(2^n+n^(7*gamma))$
il primo sinceramente non so nemmeno da che parte iniziare... il secondo ho pensato che prima devo trovare per quali valori il denominatore è maggiore di 0 e quindi esiste.. ma non so se è giusto.. è un argomento che il prof non ha spiegato quando ho seguito io, quindi sono un po in difficoltà...
aiutatemi... 
Il ragionamento si basa, in entrambi i casi, sui criteri di confronto asintotico (che dovresti trovare sul tuo libro di testo).
La serie converge per ogni \(\gamma\), perchè è asintoticamente equivalente alla serie geometrica convergente \(\sum 1/2^n\).
Per quanto concerne l'integrale, dato che l'integrando è continuo in \(]0,\infty[\) ti basta andare a studiare il suo comportamento asintotico intorno a \(0\) e \(\infty\).
Visto che non sai nulla sul segno di \(\gamma\), conviene studiare separatamente i casi \(\gamma >0\), \(\gamma=0\) e \(\gamma <0\).
Ad esempio, supponiamo che \(\gamma >0\). Dato che per \(x\to 0\) si ha \(x^\gamma \to 0\), risulta:
\[
1-e^{-x^\gamma} \approx x^\gamma
\]
dunque l'integrando è equivalente a \(\frac{(x^\gamma)^\gamma}{x^{2\gamma}} = x^{\gamma^2 -2\gamma}\) ed è perciò integrabile solo se \(\gamma^2 -2\gamma >-1\).
D'altra parte, per \(x\to \infty\) il numeratore dell'integrando è equivalente ad \(x^{-2\gamma}\) ed è perciò integrabile solo se \(-2\gamma<-1\).
Pertanto, nel caso in esame, il tuo integrale esiste finito solo se il sistema:
\[
\begin{cases}
\gamma >0\\
\gamma^2 -2\gamma +1>0\\
2\gamma >1
\end{cases}
\]
e da ciò si trovano facilmente i valori di \(\gamma\) che fanno convergere il tuo integrale.
Prova ad analizzare da sola gli altri casi rimanenti.
La serie converge per ogni \(\gamma\), perchè è asintoticamente equivalente alla serie geometrica convergente \(\sum 1/2^n\).
Per quanto concerne l'integrale, dato che l'integrando è continuo in \(]0,\infty[\) ti basta andare a studiare il suo comportamento asintotico intorno a \(0\) e \(\infty\).
Visto che non sai nulla sul segno di \(\gamma\), conviene studiare separatamente i casi \(\gamma >0\), \(\gamma=0\) e \(\gamma <0\).
Ad esempio, supponiamo che \(\gamma >0\). Dato che per \(x\to 0\) si ha \(x^\gamma \to 0\), risulta:
\[
1-e^{-x^\gamma} \approx x^\gamma
\]
dunque l'integrando è equivalente a \(\frac{(x^\gamma)^\gamma}{x^{2\gamma}} = x^{\gamma^2 -2\gamma}\) ed è perciò integrabile solo se \(\gamma^2 -2\gamma >-1\).
D'altra parte, per \(x\to \infty\) il numeratore dell'integrando è equivalente ad \(x^{-2\gamma}\) ed è perciò integrabile solo se \(-2\gamma<-1\).
Pertanto, nel caso in esame, il tuo integrale esiste finito solo se il sistema:
\[
\begin{cases}
\gamma >0\\
\gamma^2 -2\gamma +1>0\\
2\gamma >1
\end{cases}
\]
e da ciò si trovano facilmente i valori di \(\gamma\) che fanno convergere il tuo integrale.
Prova ad analizzare da sola gli altri casi rimanenti.
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