Convergenza

[Aristotele2]

Non riesco a capire questo esercizio svolto in aula dal docente:

$phi_n(x)=x^n$ , $x in [0,1]$ $AA n in N$
Verificare che converge puntualmente e uniformemente.
La successione ${phi_n}$ converge puntualmente alla funzione $phi(x)={0 x in [0,1[ e 1 x=1}$
Inoltre essendo $|phi_n(x)-phi(x)|=x^n x in [0,1[ $e $0 x=1$
risulta
sup di $[0,1]$ $|phi_n(x)-phi(x)|$= sup di $[0,1[$ $x^n=1$
quindi non converge uniform. a $phi$ in $[0,1]$.

Ovviamente si trova che non è uniforme perché dovrebbe venire $0$ per essere uniforme
Ma non riesco a capire come ragiona con gli intervalli…

Grazie!

[leev]

In che senso 'come ragiona con gli intervalli?'

Per l'uniformità deve verificare che
$lim_{n->oo}( Sup_{[0,1]} |phi_n(x)-phi(x)|)=0$,
ma il sup di quella roba lì risulta essere sempre 1, quindi nn è uniforme.

[Aristotele2]

Grazie per avermi risposto!
Mi spiego meglio!ammetto di aver espresso malissimo il mio dubbio...allora:

La successione ${phi_n}$ converge puntualmente alla funzione $phi(x)={0 x in [0,1[ e 1 x=1}$

1)perchè considera l'intervallo del valore $0$ così $0$ $x in [0,1[$ forse perchè la successione è uguale ad $x^n$
e per questo motivo bisogna considerare l'intervallo aperto...?
2)perchè in $1$ ha posto $x=1?$

[_luca.barletta]

$1^n=1, AAn$

[Aristotele2]

ah già giusto è vero!e per la domanda 1)

1)perchè considera l'intervallo del valore $0$ così $0$ $x in [0,1[$ forse perchè la successione è uguale ad $x^n$
e per questo motivo bisogna considerare l'intervallo aperto...?

cioè poichè è una parabola il grafico...l'intervallo dopo il punto $1$ tende a $oo$ e parte dall'origine cioè dal punto $0$!

[_luca.barletta]

nell'intervallo $[0,1[$ la successione di funzioni $x_n=x^n$ tende alla funzione identicamente nulla

[Aristotele2]

Ho capito! la cosa che mi ha fatto confondere è che l'esercizio metteva come intervallo della successione $x in [0,1]$
non $x in [0,1[$...