Convergenza
Qualcuno potrebbe spiegarmi in che modo determinare se un integrale converge o no?
Risposte
Innanzitutto devi chiarire la domanda: comunque suppongo che stessi parlando di integrali generalizzati.
Ci sono vari metodi, io conosco questi:
1) calcolare il limite $lim_(\beta rightarrow b^-) int_a^beta f(x)dx=int_a^b f(x)dx$ (questo è solo un esempio, ci sono altri tipi di integrali generalizzati);
2) usare il criterio del confronto;
3) usare il criterio del confronto asintotico;
4) usare il criterio del modulo.
Ci sono vari metodi, io conosco questi:
1) calcolare il limite $lim_(\beta rightarrow b^-) int_a^beta f(x)dx=int_a^b f(x)dx$ (questo è solo un esempio, ci sono altri tipi di integrali generalizzati);
2) usare il criterio del confronto;
3) usare il criterio del confronto asintotico;
4) usare il criterio del modulo.
Ci sono vari modi, si può calcolare, se possibile, l'integrale in forma chiusa, si può determinare una funzione che si comporta ugualmente a quella usata, e calcolare l'integrale su quella (confronto asintotico), si può determinare una funzione maggiorante, e se quella converge anche l'integrale di partenza converge, si può determinare una funzione minorante, e se l'integrale di questa funzione diverge anche l'integrale di partenza diverge... è un po' difficile dirlo a parole, ci sono vari criteri per decidere se un integrale converge o no, e a seconda della funzione da studiare conviene scegliere un criterio piuttosto che un altro.
Io ho capito questo
avendo un inegrale che nell'intervallo di integrabilità presenta dei punti problematici (va a 0 o infinito)
se la funzione integranda è un infinito di ordine <1 o un infinitesimo di ordine maggiore di 1 la funzione converge.
In questa definizione mancheranno una marea di punti chiave, quali?
avendo un inegrale che nell'intervallo di integrabilità presenta dei punti problematici (va a 0 o infinito)
se la funzione integranda è un infinito di ordine <1 o un infinitesimo di ordine maggiore di 1 la funzione converge.
In questa definizione mancheranno una marea di punti chiave, quali?
Poichè l'ordine di infinitesimo (discorso analogo per gli infiniti, devi cambiare qualche valore e dicitura) è il valore di $alpha$ tale per cui il limite $lim_(x rightarrow oo)f(x)/x^alpha$ è un valore finito, si può dire che stai usando il criterio del confronto asintotico, e il confronto è con la funzione $1/x^alpha$. Infatti $f(x)=1/x^alpha$ è g-integrabile su $[1,+oo]$ sse $alpha>1$.
cosa significa
g-integrabile?
g-integrabile?
Integrabile in senso generalizzato. (del tipo $int_(-oo) ^(+oo) f(x)dx$).
e se invece si $1.+oo$
dovessi integrare in
0,1
una funzione tipo
$1/(((x)^(1/2))*(x-4))$
?
dovessi integrare in
0,1
una funzione tipo
$1/(((x)^(1/2))*(x-4))$
?
Se ho capito bene devi calcolare $int_0^1 1/(sqrtx(x-4))dx$. Il valore esatto dell'integrale lo trovi calcolando il limite di cui parlavo prima, e questo lo lascio fare a te.
Prima però ti conviene verificare se è G-integrabile. Ora, poichè $1/(sqrtx(x-4))> -1/sqrtx$ $forall x in [0,1]$, e poichè $-1/sqrtx$ è G-integrabile, lo è anche $1/(sqrtx(x-4))$. (Criterio del confronto)
Prima però ti conviene verificare se è G-integrabile. Ora, poichè $1/(sqrtx(x-4))> -1/sqrtx$ $forall x in [0,1]$, e poichè $-1/sqrtx$ è G-integrabile, lo è anche $1/(sqrtx(x-4))$. (Criterio del confronto)
"elgiovo":
Ora, poichè $1/(sqrtx(x-4))> -1/sqrtx$ $forall x in [0,1]$, e poichè $-1/sqrtx$ è G-integrabile, lo è anche $1/(sqrtx(x-4))$. (Criterio del confronto)
uhm scusa ma tanto $1/(sqrtx(x-4))$ quanto $-1/sqrtx$ non esistono in $0$ puoi generalizzare lo stesso $forall x in [0,1]$ ?
non dovremmo avere quantomeno $(0,1]$ ?
Ok, diciamo $forall x in ]0,1]$. Grazie della puntualizzazione.
non volevo rompere le scatole! solo capire 
"Chicco_Stat_":
non volevo rompere le scatole! solo capire
E chi si è rotto le scatole? Tranquillo
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