Convergenta totale

[daenerys1]

Data la seguente serie:

$ sum_(n = 0)^∞2^nsen((n^2x)/3^n) $

devo dire se: 1- Converge totalmente sui compatti di R
2- Non converge totalmente su R


Allora per vedere la convergenza totale della serie di funzioni, devo studiarmi la serie della norma infinito e quindi:
$ sum_(n = 0)^∞||2^nsen((n^2x)/3^n)||_∞ $
quindi nel primo caso devo vedermi quale sia il sup di tale funzione sui compatti di R, giusto?
Io comunque non posso dire che: $ |2^nsen((n^2x)/3^n)|<=2^n $ ?

[daenerys1]

No ok, non considerato ciò che ho scritto sopra.. perchè ho maggiorato con qualcosa che non converge.. ma questo non ci dice se la serie converge o meno.
A questo punto quindi come posso fare, mi studio la derivata prima?

[Seneca1]

Puoi sfruttare il fatto che $|\sin(y)| \le |y|$.

[daenerys1]

Allora io ho che: $ f_n(x)=2^nsen((n^2x)/3^n) $
La prima domanda mi chiede la convergenza totale sui compatti di R e quindi, mi devo studiare la norma infinita di $f_n(x)$ sui compatti di R. Da cui, come mi ha suggerito tu:
$ Sup |f_n(x)|<= (2/3)^n*n^2|x| $

giusto?
A tal punto poi, posso applicare il criterio della radice e dire che la serie di $(2/3)^n*n^2|x|$ converge solo se $|x|<3/2$ ?

[Seneca1]

\[ \sup_{x \in [a,b]} | f_n(x) | \le \left ( \frac{2}{3}\right )^n n^2 M \]
dove $M = \max \{ |a| , |b| \}$.

Quindi, via M-test di Weierstrass, hai che la serie converge uniformemente in ogni intervallo $[a,b] \subset \mathbb{R}$ (perché converge totalmente). Dico bene?

[daenerys1]

Ok, sì giusto.. questo quindi dimostra che converge nei compatti di R.. e per dire che non converge su tutto R invece?

[Seneca1]

Prova a negare la definizione di convergenza uniforme.

[daenerys1]

Devo quindi dimostrare che converge ad una funzione che non è sempre continua?

[Seneca1]

Sospetto che tu non conosca la definizione di uniforme convergenza.