Convegenza serie

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Il mio libro introduce la serie $\sum a_n$ a termini assegnati ricorsivamente dalle formule
$a_1=1, a_(n+1)=(2+cosn)/sqrt(n) a_n$
Che dice essere convergente* perché da queste formule desume che
$AAn>16$ $a_n=((2+cosn)/sqrt(n))^(n-1) <= (3/sqrt(n))^(n-1) <=(3/4)^(n-1)$ che converge perché è una serie geometrica di ragione di modulo minore di 1.
Non capisco perché $a_n=((2+cosn)/sqrt(n))^(n-1)$ ... Io osservo semplicemente che
$n>= 2 => a_n=\prod_{k=1}^{n-1} (2+cosk)/sqrt(k)$...
Che cosa ne pensate?
Grazie a tutti!!!

*Cosa che avrei dimostrato con il criterio del rapporto perché direi che $lim_n (2+cosn)/sqrt(n)=0$

EDIT: Errata correcta grazie all'osservazione di ViciousGoblin.

[ViciousGoblin]

"DavideGenova":Ciao, amici!
Il mio libro introduce la serie $\sum a_n$ a termini assegnati ricorsivamente dalle formule
$a_1=1, a_(n+1)=(2+cosn)/sqrt(n)$

Questa non mi sembra una definizione ricorsiva (se non in senso banale) dato che non vedo $a_n$ nel termine di destra.
Hai un $a_n$ a moltiplicare? Se e così mi pare che la tua formula sia corretta e che il libro abbia torto - però sarebbe vera la diseguaglianza $a_n\leq 3^16(3/4)^{n-16}$ per ogni $n\ge 16$, che comunque ti dà una maggiorazione con una serie geometrica.

[DavideGenova1]

Grazie!!! Non avevo trascritto l'$a_n$... Ho corretto la definizione della serie, che così è ricorsiva. Che cosa ne pensi/ate?

[ViciousGoblin]

"DavideGenova":Grazie!!! Non avevo trascritto l'$a_n$... Ho corretto la definizione della serie, che così è ricorsiva. Che cosa ne pensi/ate?

Io penso quello che ho scritto prima .... . Che hai ragione anche se il procedimento del libro si può aggiustare come ti ho indicato.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! È frustrante quando si passa il pomeriggio a dare un senso ad un'espressione trovata su un libro che si rivela sbagliata... Comunque, considerato che è la quartultima pagina, non mi era mai capitato di trovare così pochi refusi in un libro di matematica, fisica o chimica (intendo di tipo universitario, di quelli ricchi di formule termodinamiche, quantistiche e cinetico-chimiche)!
Grazie ancora!