Convegenza integrale

[Sty.ing]

\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\left (1-\cos x\right )^{a}}{x-\sin x}\ dx \)
come stabilisco per quali valori di a questo integrale converge?

[gugo82]

Hai studiato la teoria?
Che criteri conosci per stabilire se un integrale improprio converge?

[Sty.ing]

non l'ho studiata ancora devo per caso usare un criterio del confronto/rapporto?

[francesco.android6]

Se non sbaglio dovresti studiare il limite dell funzione che deve essere finito... se è infinito vuol dire che l'integrle non esiste... se è finito vuol dire che l'integrale converge asintoticamente a quel determinato valore e così dimostri anche che l'integrale è risolubile. se sbaglio vi prego di correggermi

[avmarshall]

uno dei criteri è quello di confrontare l'integrale con $ int_(0)^(1) 1/x^a $
siccome tu sai (e se non lo sai dovresti saperlo) cosa fa l'integrale che ti ho scritto $ AA a $ concludi.
comunque faresti meglio a fare un po di teoria perchè ci sono altre strade per verificare la convergenza di quell'integrale

[Sty.ing]

scusami marshall, ma come faccio a confrontarlo?è quello il mio problema!!io so che per a<1 l'integrale \(\displaystyle {\int_{{{0}}}^{{{1}}}}\frac{{1}}{{{x}}^{{a}}}\) converge ma non capisco come possa confrontarli!

[avmarshall]

Ti basta cercare su google "criterio del confronto asintotico per gli integrali" oppure "criterio del confronto per gli integrali".
Così facendo trovi due teoremi per verificare la convergenza di quell'integrale.
Cerca e mi fai sapere.
Una volta trovati e studiati questi teoremi ne applichi uno, ad esempio il primo, e fai il rapporto fra la tua funzione integranda e la funzione della quale conosciamo il comportamento $ 1/x^a $ e calcoli il limite! (se hai studiato il criterio del confronto asinotico capisci quello che ti sto dicendo!)
A secondo di quanto ti risulta il limite sei in grado di dire se il tuo integrale converge o meno.
P.s.:
non ho scritto direttamente i teoremi sia perchè è una noia scriverli, sia perchè li trovi tranquillamente su internet.

[Sty.ing]

Dunque, confronto il mio integrale con \(\displaystyle \frac{{1}}{{{x}}^{{a}}}\) e so che \(\displaystyle (1-cosx)^{a}\sim \frac{x^{2}}{2^a}^{a}\) e che \(\displaystyle x-sinx \sim \frac{x^3}{6} \). Dunque mi ritrovo ad avere \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2a}}{2^a}\cdot x^{a}}{\frac{x^{3}}{6}} \) che diventa \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3a-3}} \); adesso pongo \(\displaystyle -3a+3<1\) e trovo che per \(\ a>\frac{2}{3} \) l'integrale converge. Si fa così?

[gugo82]

Non ho controllato i conti, ma l'idea è quella.

Resta però il fatto che fare esercizi senza nemmeno aver dato uno sguardo alla teoria è una delle ca***te più grosse che uno stedente di Analisi possa fare. Quindi, se ti interessa capire qualcosa della Matematica (e non solo passare l'esame: quello lo passano tutti, prima o poi), ti consiglio di cominciare a studiare come si deve.

[Sty.ing]

non è che non l'ho proprio guardata la teoria, semplicemente non la so a menadito, kmq il risultato che ho ottenuto non è presente tra le risposte, quindi non credo vada bene il metodo utilizzato...potete dirmi dove ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

$[x->0] rarr [(1-cosx)^a/{x-sinx)\simalphax^(2a-3)]$

[ViciousGoblin]

"Sty.ing":Dunque, confronto il mio integrale con \(\displaystyle \frac{{1}}{{{x}}^{{a}}}\) e so che \(\displaystyle (1-cosx)^{a}\sim \frac{x^{2}}{2^a}^{a}\) e che \(\displaystyle x-sinx \sim \frac{x^3}{6} \). Dunque mi ritrovo ad avere \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2a}}{2^a}\cdot x^{a}}{\frac{x^{3}}{6}} \) che diventa \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3a-3}} \); adesso pongo \(\displaystyle -3a+3<1\) e trovo che per \(\ a>\frac{2}{3} \) l'integrale converge. Si fa così?

$alpha$ e $a$ vanno tenuti distinti. Devi ragionare così:
1) Fissato $\alpha$ cerchi $a$ in modo che l'integrando sia asintotico a $1/x^a$ (cioè in modo che il rapporto abbia limite finito).
Tale $a$ dipenderà da $\alpha$.
2) Cerchi gli $\alpha$ per cui il corrispondente $a$ risulta minore di uno.

(mi pare che venga $a$ venga $3-2\alpha$ da cui la condizione richiesta è $\alpha>1$).

EDIT Non avevo visto l'ultimo messaggio di speculor

[Sk_Anonymous]

"ViciousGoblin":
EDIT Non avevo visto l'ultimo messaggio di speculor

Chiaramente nessun problema.

[Sty.ing]

Ok credo di aver capito!!Ora provo a fare altri esercizi di questo tipo e se incontro altri problemi vi faccio sapere, grazie mille intanto