Conv. Totale Serie di Funzioni

[simki]

Ciao a tutti. Sto svolgendo il seguente esercizio sulle serie di funzioni
$\sum_{k=1}^infty 1/(n^(x+1)+|x|^n)$ in cui devo studiare convergenza puntuale e totale.

Siccome voglio provare che c'è conv. totale in $[\delta, +infty) = I$ ho fatto la seguente maggiorazione:
sup$|f_n(x)|<=$sup$1/(n^(x+1)) = 1/(n^(\delta+1)$
Posso farlo? Cioè posso maggiorare il sup del termine della serie, con il sup di un'altra successione? Oppure devo direttamente trovare una successione di funzioni che la maggiora e, per esempio, in questo caso scrivere direttamente
sup$|f_n(x)|<=$ $1/(n^(\delta+1)$ ??
Il sup lo intendo sempre in $[\delta, +infty)$ che per brevità non ho riscritto.

[anto_zoolander]

Ti do un’idea:

Somma di funzioni crescenti su un intervallo sono crescenti
Il reciproco di una funzione non nulla e crescente in un intervallo è decrescente

Dovresti solo trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza.
Di fatto se $f_n(x)$ è una successione di funzioni crescenti in un intervallo $J=[a,b]$ avrai che

$foralln in NN, s u p_(x inJ)f_n(x)=lim_(x->b)f_n(x)$

[simki]

Ok grazie, avrei un'altra domanda se puoi rispondere: nel caso in cui ho una $f_n(x)$ pari e devo studiare la convergenza in $x!=0$, posso studiare, per esempio solo il sup in $x>0$ e dire che il comportamento è lo stesso anche per le $x<0$?