Contuinità e derivabilità funzione

[leed1]

Ho la seguente funzione:

$ y = arctg(1/x) $

Per x = 0 la funzione presenta un punto di discontinuità, in quanto limite destro e sinistro sono diversi.
Però, sappiamo che se una funzione è derivabile in punto x1, allora la funzione è continua in x1.
Il problema è che la derivata, ovvero $ -1/(1+x^2) $, esiste per x = 0, ed è precisamente -1. Quindi teoricamente la funzione dovrebbe essere continua in quel punto.
Cosa c'è di sbagliatissimo ed orrore nel mio ragionamento? Il fatto che non posso derivare una funzione in punto in cui la funzione non è continua?
Grazie anticipatamente.

[gugo82]

Un teorema carino dovuto a Darboux dice che se una funzione [tex]$f(x)$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex] e se la sua derivata prima [tex]$f^\prime (x)$[/tex] ha una discontinuità eliminabile in [tex]$x_0$[/tex], allora la funzione è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] e la sua derivata è proprio il valore [tex]$\lim_{x\to x_0} f^\prime (x)$[/tex].
Inconsciamente stai applicando questo teorema, però senza l'ipotesi che [tex]$f(x)$[/tex] sia continua nel punto [tex]$x_0$[/tex]...

Tuttavia ciò non può essere fatto, perchè se una funzione non è continua in un punto, come fa ad essere derivabile?

[leed1]

Si infatti era questo quello che mi interessava! Al quanto ho capito quindi si deve ragionare così:
- La funziona è continua in x1? Allora POTREBBE ammettere derivata.
- La funzione è discontinua in x1? Allora NON ammette derivata, anche se questa POTREBBE esistere (come nel caso precedente).
Giusto?

[gugo82]

Esatto.
Infatti la continuità è necessaria alla derivabilità.

[leed1]

Perfetto grazie mille!