Controsenso nella serie di 1/(n ln(n))

[Terrubik]

Ciao a tutti, sto avendo qualche problema di concetto nel convincermi che $ \sum _(n=2) ^(∞) 1/(n ln(n)) $ diverga.
Ho capito la dimostrazione utilizzando il criterio dell'integrale e sono convintissimo che funzioni, siccome l'integrale tra 2 e infinito della funzione decrescente $ 1/(n ln(n)) $ diverge,allora anche la sommatoria tra 2 e infinito della stessa funzione diverge.

Facendo però alcune considerazioni grafiche mi sorge qualche dubbio:
Prendo la serie armonica generalizzata e la faccio partire da 2,
quindi ho $ \sum _(n=2) ^(∞) 1/n^a $ , questa converge per $ a>1$ .
Ciò mi dice che, ad esempio, $ \sum _(n=2) ^(∞) 1/n^(1.0000001) $ converge.
Allora mi prendo la funzione (estesa ad R) $ f(n) = 1/n^(1.0000001) $ e me la faccio disegnare da un computer .
Adesso prendo la funzione su R $ g(n)=1/( n ln(n)) $ e me la faccio disegnare sullo stesso piano cartesiano.
Quello che si nota è che le due funzioni si intersecano in un punto, circa in $ n=2.71 $ .
Nell'intervallo $ [2, 2.71)$ $g$ è maggiore di $f$ , nel punto $ n=2.71$ $g$ ed $f$ si intersecano e poi in $(2.71,+ ∞)$ $g$ è sempre minore di $f$.
Quest'ultima considerazione viene dal fatto che $ 1/n^(1.0000001)=1/( n ln(n) $ ha un' unica soluzione ed è $ n=2.71$ , quindi, dal punto di intersezione in poi, $g$ è minore di $f$, $g$ sta sotto $f$.
Quindi la domanda mi sorge spontanea,
come fa a convergere $ \sum _(n=2) ^(∞) 1/n^(1.0000001) = \sum _(n=2) ^(∞) f(n) $
e a divergere $ \sum _(n=2) ^(∞) 1/ (n ln(n)) = \sum _(n=2) ^(∞) g(n) $
se nell'intervallo $(2.71,+ ∞)$ si ha sempre che $ g(n)
Grazie per l'attenzione, è solo un dubbio "filosofico" che va contro una dimostrazione di divergenza e quindi mi lascia un po' perplesso.

[Luca.Lussardi]

Hai perfettamente ragione nel dire che se $g

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