Controllo svolgimento esercizio su serie di potenze

[Pablitos23]

E' la seguente:

$sum_{n=1}^(+oo) x^n/(n+e^x)$

Devo studiarne la convergenza semplice e assoluta.

CALCOLO DEL RAGGIO DI CONVERGENZA

Utilizzo il criterio della radice.

$lim_(n->+oo) root(n)(1/(n+e^n)) = lim_(n->+oo) root(n)(1/(e^n(1+n/(e^n)))) = 1/e$

$R = e$ e l'intervallo di convergenza sarà $|x|

Ora verifico ai bordi la convergenza:

- per $x=e -> sum_{n=1}^(+oo) e^n/(n+e^x)$

Se provo a verificare la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza delle serie numeriche vien fuori:

$lim_(n->+oo) e^n/(n+e^n) ~ lim_(n->+oo) e^n/e^n = 1$

Quindi $x=e notin D$


- per $x=-e ->sum_{n=1}^(+oo) ((-1)^n *e^n)/(n+e^x)$

Essendo una serie a segni alterni provo con il criterio di Leibniz ma se la condizione necessaria di Cauchy sulla convergenza non è verificata nell'altra, non lo sarà nemmeno per questa, essendo:

$a_n=e^n/(n+e^n)$ uguale al caso precedente.

E' giusta questa parte di svolgimento?

[billyballo2123]

Sì

[Pablitos23]

Grazie quindi $D: -e
Ma la serie converge semplicemente o assolutamente? So che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, ma qui ne ho studiato solo la semplice o anche l'assoluta. E' un concetto che ancora non mi è chiarissimo.

[billyballo2123]

Se non sbaglio con le serie di potenze la convergenza semplice equivale a quella assoluta.
Non sono equivalenti solo con le serie di funzioni in generale...