Controllo soluzione di un limite
Salve,
vorrei verificare che il ragionamento su questo limite sia corretto.
$ lim_(n -> + infty) (n!)/(2^(n^2) $
Si intuisce che per $n$ molto grandi il limite tenderà a zero, infatti $2^(n^2)$ cresce più velocemente di $n!$. Mi resta da dimostrare questa ultima affermazione.
Induzione su $n$ (cerco di abbreviare i passaggi), suppongo vera $2^(n^2)>n!$ e la verifico per $2^((n+1)^2)>(n+1)!$ [con $n>1$]
Scompongo e mi riconduco ad una forma in cui posso utilizzare le ipotesi
$2^(n^2) 2^(2n+1) >n!(n+1)$
Mi resta da dimostrare che
$2^(2n+1)>n+1$
$2n+1>log(n+1)$
Questo per n molto grandi è evidentemente vero, si puo' vedere facilmente con de L'Hopital.
vorrei verificare che il ragionamento su questo limite sia corretto.
$ lim_(n -> + infty) (n!)/(2^(n^2) $
Si intuisce che per $n$ molto grandi il limite tenderà a zero, infatti $2^(n^2)$ cresce più velocemente di $n!$. Mi resta da dimostrare questa ultima affermazione.
Induzione su $n$ (cerco di abbreviare i passaggi), suppongo vera $2^(n^2)>n!$ e la verifico per $2^((n+1)^2)>(n+1)!$ [con $n>1$]
Scompongo e mi riconduco ad una forma in cui posso utilizzare le ipotesi
$2^(n^2) 2^(2n+1) >n!(n+1)$
Mi resta da dimostrare che
$2^(2n+1)>n+1$
$2n+1>log(n+1)$
Questo per n molto grandi è evidentemente vero, si puo' vedere facilmente con de L'Hopital.
Risposte
Giusto, ma anche per un fatto di gerarchia degli infiniti.
Come fai a vederlo con Hopital? si tratta di successioni e non di funzioni, non puoi derivare una successione.
Mi avvalgo del "Teorema Ponte" che mi permette di collegare il continuo con il discreto (e viceversa). Penso sia lecito... In ogni caso come ha detto @Zero87 è una conseguenza della gerarchia degli infiniti ovviamente. Mi ero posto il problema se non avevo nessun assunto e dovessi dimostrare ogni mia affermazione 
Per il limite che hai posto $lim_(n->infty)(n!)/2^(n^2)$ effettivamente il ragionamento sembra funzionare, ma con il seguente limite $lim_(n->infty)(n!)/2^n$, il ragionamento precedente funziona?
Secondo me no, per voi?
Secondo me no, per voi?
Viene bene con il teorema del confronto.
Ovviamente $ 0<(n!)/2^(n^2) $. Ora $ (n!)/2^(n^2)=n/2^n \cdot (n-1)/2^n \cdot...\cdot 1/2^n < n/2^n $, essendo ogni termine minore di 1. Allora, $0<(n!)/2^(n^2)infty)0=0= lim_(n->infty)(n)/2^(n) $, per il teorema del confronto, $ lim_(n->infty)(n!)/2^(n^2) =0$.
Ovviamente $ 0<(n!)/2^(n^2) $. Ora $ (n!)/2^(n^2)=n/2^n \cdot (n-1)/2^n \cdot...\cdot 1/2^n < n/2^n $, essendo ogni termine minore di 1. Allora, $0<(n!)/2^(n^2)
Ciao @francicko,
non ho capito bene a cosa ti riferisci. Anche con il limite da te esposto si può procedere con un ragionamento analogo. Devo dimostrare che $n!>2^n$ [con $n>=4$]. Suppongo la relazione vera per $n$ e la provo per $n+1$.
$(n+1)!>2^(n+1)$
$(n+1)n!>2^n 2$
Si riduce a dimostrare che
$(n+1)/2>1$ , che è chiaramente una relazione verificata per $n>=4$.
Sicuramente non è il modo migliore e lo so bene. La mia era una proposta di soluzione alternativa al limite iniziale
Edit: Ringrazio Pachisi per l'intervento
non ho capito bene a cosa ti riferisci. Anche con il limite da te esposto si può procedere con un ragionamento analogo. Devo dimostrare che $n!>2^n$ [con $n>=4$]. Suppongo la relazione vera per $n$ e la provo per $n+1$.
$(n+1)!>2^(n+1)$
$(n+1)n!>2^n 2$
Si riduce a dimostrare che
$(n+1)/2>1$ , che è chiaramente una relazione verificata per $n>=4$.
Sicuramente non è il modo migliore e lo so bene. La mia era una proposta di soluzione alternativa al limite iniziale
Edit: Ringrazio Pachisi per l'intervento
xAle.
Hai ragione!!
Non avevo considerato la base dell'induzione per $n>=4$, a questo punto l'induzione funziona anche per il limite che ho riportato io;
A me sembra che il tuo ragionamento funzioni ed e' un bel modo di far vedere come semplicemente applicando il principio di induzione si puo' arrivare alla soluzione del limite!
Riassumendo quindi risulterebbe:
$lim_(n->infty)(n!)/(2^n)=+infty $, mentre $lim_(n->infty)(n!)/2^(n^2)=0$;
Andiamo ora al limite $lim_(n->infty)(n!)/2^n=infty $ , essendo che da un certo $i $ $in $ $N$ la base dell'induzione e' assicurata, si puo' generalizzare e dire che per ogni $a>=2$ $inR$ avremo $lim_(n->infty)(n!)/a^n=infty$ .
Hai ragione!!
Non avevo considerato la base dell'induzione per $n>=4$, a questo punto l'induzione funziona anche per il limite che ho riportato io;
A me sembra che il tuo ragionamento funzioni ed e' un bel modo di far vedere come semplicemente applicando il principio di induzione si puo' arrivare alla soluzione del limite!
Riassumendo quindi risulterebbe:
$lim_(n->infty)(n!)/(2^n)=+infty $, mentre $lim_(n->infty)(n!)/2^(n^2)=0$;
Andiamo ora al limite $lim_(n->infty)(n!)/2^n=infty $ , essendo che da un certo $i $ $in $ $N$ la base dell'induzione e' assicurata, si puo' generalizzare e dire che per ogni $a>=2$ $inR$ avremo $lim_(n->infty)(n!)/a^n=infty$ .
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