Controllo serie numeriche
Raga buongiorno!! Diversamente dalle altre volte oggi non vi chiedo aiuto per risolvere i miei problemi, ma solo di controllare se ho fatto bene questi esercizi sulle serie, poichè non ho i risultati. Allora:
ESERCIZIO 1
\( \sum_{1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{6}+1}}\)
(nel denominatore la n è elevata alla 6)
questa è una serie a segno alterno. In questo caso posso usare il criterio di Leibniz oppure vedere se converge assolutamente e dunque anche semplicemente. Per quanto riguarda il criterio di leibniz si vede subito che la successione del termine generale è infinitesima e che è decrescente (l'ho verificato ma credo sia inutile scriverlo). Dunque per il criterio di Leibniz la serie converge. Volendo studiare invece la convergenza assoluta, scrivo la serie dei moduli associata alla serie iniziale:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}+1}}\) e utilizzo il criterio del confronto, confrontandola con una serie il cui carattere è noto come: \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\)
Poichè \(\frac{1}{n^{6}+1}\leq\frac{1}{n^{6}}\) vale definitivamente, possiamo dire che se \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\) converge allora anche \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}+1}}\) converge.
Dato che \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\) non è altro che la serie armonica generalizzata e poichè l'esponente della n è >1 la serie converge. Dunque anche la serie dei moduli associata alla serie di partenza converge. Di conseguenza la serie di partenza converge assolutamente e dunque converge semplicemente!!!
Giusto?
Domanda: Un metodo è preferibile all'altro? magari per semplicità o qualche altro motivo...o dipende dai casi?
ESERCIZIO 2:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}}\)
Si vede che è una serie a termini positivi e che rispetta la condizione di convergenza di Cauchy. Utilizzo il criterio degli infinitesimi. Devo trovare il termine generale della seconda serie, che si trova eliminando da numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore. Dunque la seconda serie sarà : \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{n^{2}}{2n^{7}}} \) cioè \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{2n^{5}}}\) ora calcolo:
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}2n^{5}}\)
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{2n^{7}+2n^{5}}{2n^{7}+2}}=\frac{2}{2}=1\)
Visto che il lim=1 le due serie hanno lo stesso carattere e dato che la seconda serie è di carattere noto e converge allora la nostra serie di partenza sarà anch'essa convergente!!!
ESERCIZIO 3
\(\sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-4n}}{n!}}\)
Anche questa è una serie a termini positivi e soddisfa la condizione di convergenza. Applico qui il criterio del rapporto. Innanzitutto calcolo \(a_{n+1}\)
\({\frac{3^{-4n+1}}{(n+1)!}}\) cioè \({\frac{3^{-4n}3}{(n+1)n!}}\)
Calcolo il limite:
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)
\(\lim_{n\to \infty}{{\frac{3^{-4n}3}{(n+1)n!}}}\frac{n!}{3^{-4n}}\)
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{3}{(n+1)}}=0\)
Dunque il lim=0, quindi è<1 per cui la serie converge!!!
N.B. Si accettano consigli e suggerimenti!!!
ESERCIZIO 1
\( \sum_{1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{6}+1}}\)
(nel denominatore la n è elevata alla 6)
questa è una serie a segno alterno. In questo caso posso usare il criterio di Leibniz oppure vedere se converge assolutamente e dunque anche semplicemente. Per quanto riguarda il criterio di leibniz si vede subito che la successione del termine generale è infinitesima e che è decrescente (l'ho verificato ma credo sia inutile scriverlo). Dunque per il criterio di Leibniz la serie converge. Volendo studiare invece la convergenza assoluta, scrivo la serie dei moduli associata alla serie iniziale:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}+1}}\) e utilizzo il criterio del confronto, confrontandola con una serie il cui carattere è noto come: \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\)
Poichè \(\frac{1}{n^{6}+1}\leq\frac{1}{n^{6}}\) vale definitivamente, possiamo dire che se \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\) converge allora anche \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}+1}}\) converge.
Dato che \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n^{6}}}\) non è altro che la serie armonica generalizzata e poichè l'esponente della n è >1 la serie converge. Dunque anche la serie dei moduli associata alla serie di partenza converge. Di conseguenza la serie di partenza converge assolutamente e dunque converge semplicemente!!!
Giusto?Domanda: Un metodo è preferibile all'altro? magari per semplicità o qualche altro motivo...o dipende dai casi?
ESERCIZIO 2:
\( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}}\)
Si vede che è una serie a termini positivi e che rispetta la condizione di convergenza di Cauchy. Utilizzo il criterio degli infinitesimi. Devo trovare il termine generale della seconda serie, che si trova eliminando da numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore. Dunque la seconda serie sarà : \(\sum_{1}^{\infty}{\frac{n^{2}}{2n^{7}}} \) cioè \( \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{2n^{5}}}\) ora calcolo:
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}2n^{5}}\)
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{2n^{7}+2n^{5}}{2n^{7}+2}}=\frac{2}{2}=1\)
Visto che il lim=1 le due serie hanno lo stesso carattere e dato che la seconda serie è di carattere noto e converge allora la nostra serie di partenza sarà anch'essa convergente!!!
ESERCIZIO 3
\(\sum_{1}^{\infty}{\frac{3^{-4n}}{n!}}\)
Anche questa è una serie a termini positivi e soddisfa la condizione di convergenza. Applico qui il criterio del rapporto. Innanzitutto calcolo \(a_{n+1}\)
\({\frac{3^{-4n+1}}{(n+1)!}}\) cioè \({\frac{3^{-4n}3}{(n+1)n!}}\)
Calcolo il limite:
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)
\(\lim_{n\to \infty}{{\frac{3^{-4n}3}{(n+1)n!}}}\frac{n!}{3^{-4n}}\)
\( \lim_{n\to \infty}{\frac{3}{(n+1)}}=0\)
Dunque il lim=0, quindi è<1 per cui la serie converge!!!
N.B. Si accettano consigli e suggerimenti!!!
Risposte
i risultati sono corretti; nella seconda serie non è necessario calcolare i limiti che hai scritto per concludere; per la prima meglio sempre prima vedere se c'è la convergenza assoluta.
"Noisemaker":
i risultati sono corretti; nella seconda serie non è necessario calcolare i limiti che hai scritto per concludere; per la prima meglio sempre prima vedere se c'è la convergenza assoluta.
Grazie mille!!
cosa intendi per la seconda serie? Ho letto che per il criterio degli infinitesimi se il lim=1 le due serie hanno lo stesso carattere, dunque credevo fosse necessario prima verificare questo... forse si possono eliminare gli infiniti di ordine inferiore direttamente dalla prima serie facendola così diventare serie armonica generalizzata?
è un confronto asintotico quindi puoi semplicemente scrivere:
\[\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}\sim \frac{ n^{2}}{2n^{7} }\sim\frac{ 1}{ n^{5} }\to \mbox{converge.}\]
\[\frac{1+n^{2}}{2n^{7}+2}\sim \frac{ n^{2}}{2n^{7} }\sim\frac{ 1}{ n^{5} }\to \mbox{converge.}\]
Grazie!! Sei stato chiarissimo
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