Controllo limite con Taylor-Peano
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x}
\]
normalmente risulta in una forma indeterminata. Notando che il grado del numeratore è 2 e quello del denominatore è 1, decido di sfruttare lo sviluppo di Taylor di $ \sin x $ al terzo grado per il numeratore e al primo grado per il denominatore. Ottengo:
\[
\frac{\sin x - x}{x^2 \sin x} = \frac{x-\frac{1}{6} x^3 + o(x^3) - x}{x^2 \left( x + o(x) \right)} = \frac{- \frac{1}{6} x^3 + o \left( x^3 \right)}{x^3 + o \left(x^3 \right)}
\]
Dunque il limite diventa
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^3}{6} \frac{1}{x^3} \right) = - \frac{1}{6}
\]
chiedo gentile conferma, come al solito (e/o suggerimenti, anche per le notazioni, che voglio sempre migliorare).
Grazie mille
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x}
\]
normalmente risulta in una forma indeterminata. Notando che il grado del numeratore è 2 e quello del denominatore è 1, decido di sfruttare lo sviluppo di Taylor di $ \sin x $ al terzo grado per il numeratore e al primo grado per il denominatore. Ottengo:
\[
\frac{\sin x - x}{x^2 \sin x} = \frac{x-\frac{1}{6} x^3 + o(x^3) - x}{x^2 \left( x + o(x) \right)} = \frac{- \frac{1}{6} x^3 + o \left( x^3 \right)}{x^3 + o \left(x^3 \right)}
\]
Dunque il limite diventa
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^3}{6} \frac{1}{x^3} \right) = - \frac{1}{6}
\]
chiedo gentile conferma, come al solito (e/o suggerimenti, anche per le notazioni, che voglio sempre migliorare).
Grazie mille
Risposte
"ncant":
Notando che il grado del numeratore è 2 e quello del denominatore è 1
Che vuol dire questa cosa? Non mi sembra che sia così: non sono polinomi e quindi non ti stai riferendo a quel grado, a cosa ti stai riferendo?
Per il resto, tutto giusto fino a qui:
"ncant":
\[
= \frac{- \frac{1}{6} x^3 + o \left( x^3 \right)}{x^3 + o \left(x^3 \right)}
\]
Ma questo:
"ncant":
Dunque il limite diventa
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^3}{6} \frac{1}{x^3} \right) = - \frac{1}{6}
\]
Che significa "diventa"? Concludi per bene quel limite, sfruttando la definizione di \(\text{o}\)-piccolo.
Ciao ncant,
L'idea è buona ed anche il risultato del limite, ma le motivazioni sono sbagliate: il "grado" del numeratore e del denominatore (qualsiasi cosa tu abbia inteso con tale locuzione...
) non c'entrano niente... Puoi sviluppare il $sin x $ al denominatore al primo grado perché al denominatore non ci sono cancellazioni, mentre al numeratore, considerando che la funzione $sin x$ è dispari e quindi hai solo le potenze dispari nello sviluppo in serie, devi per forza svilupparla almeno fino al terzo ordine se vuoi avere le corrette informazioni sull'ordine di infinitesimo del numeratore, perché al numeratore c'è una cancellazione...
"ncant":
Notando che il grado del numeratore è 2 e quello del denominatore è 1, decido di sfruttare lo sviluppo di Taylor di $sinx$ al terzo grado per il numeratore e al primo grado per il denominatore.
L'idea è buona ed anche il risultato del limite, ma le motivazioni sono sbagliate: il "grado" del numeratore e del denominatore (qualsiasi cosa tu abbia inteso con tale locuzione...
) non c'entrano niente... Puoi sviluppare il $sin x $ al denominatore al primo grado perché al denominatore non ci sono cancellazioni, mentre al numeratore, considerando che la funzione $sin x$ è dispari e quindi hai solo le potenze dispari nello sviluppo in serie, devi per forza svilupparla almeno fino al terzo ordine se vuoi avere le corrette informazioni sull'ordine di infinitesimo del numeratore, perché al numeratore c'è una cancellazione...
"Mephlip":
[quote="ncant"]Dunque il limite diventa
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^3}{6} \frac{1}{x^3} \right) = - \frac{1}{6}
\]
Che significa "diventa"? Concludi per bene quel limite, sfruttando la definizione di \(\text{o}\)-piccolo.[/quote]
Sorry
\[
\lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{6} x^3 + o \left( x^3 \right)}{x^3 + o \left(x^3 \right)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \left( - \frac{1}{6} + \frac{o\left( x^3 \right)}{x^3} \right)}{x^3 \left( 1 + \frac{o\left( x^3 \right)}{x^3} \right)}
\]
Semplificando (e considerando che $ \frac{o \left( x^3 \right)}{x^3} \to 0 $, si ha che questo limite è uguale a $ - \frac{1}{6} $.
"Mephlip":
Che vuol dire questa cosa? Non mi sembra che sia così: non sono polinomi e quindi non ti stai riferendo a quel grado, a cosa ti stai riferendo?
Ho letto ora il messaggio di @pilloeffe (mentre scrivevo questo messaggio), intendevo quello, solo che a lezione lo chiamavamo "bilanciare numeratore e denominatore". Concordo riguardo il fatto che l'obiettivo è evitare la "perdita di informazioni", ma a questo punto cosa intendeva dire il Prof con tale espressione?
Ok, ora mi sento imbrogliato...
Ho rivisto la lezione del Prof. (l'ha registrata). Intende il bilancio del grado del polinomio risultante dagli sviluppi...
Bravo, quello che hai scritto riguardo \(\text{o}\)-piccolo è proprio quello che intendevo.
Probabilmente, il professore intende che se si sviluppa troppo poco si ottiene un risultato sbagliato. Per esempio, prova a calcolare:\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2+\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
Probabilmente, il professore intende che se si sviluppa troppo poco si ottiene un risultato sbagliato. Per esempio, prova a calcolare:\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2+\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
"Mephlip":
prova a calcolare:\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2-\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
Diabolico...
(Dopo mille peripezie) $ \sin^2 x = x^2 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{2}{45} x^6 + o(x^6) $
dunque:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{2}{45} x^6 + o(x^6) - x^2 - \frac{1}{3} x^4}{x^6} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{45} x^6 - \frac{2}{3} x^4 + o(x^6) }{x^6} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4 \left( \frac{2}{45} x^2 - \frac{2}{3} + \frac{o(x^6)}{x^4}\right)}{x^4 (x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{45} x^2 - \frac{2}{3}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \left( - \frac{2}{3} + \frac{2}{45} x^2 \right) \frac{1}{x^2}\right) = - \infty
\]
Posso avere uno Scooby Snack, per favore?
Mi devi scusare, ho sbagliato un segno e mi sa che l'ho corretto mentre stavi scrivendo 
. Il limite corretto è:\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2+\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
. Il limite corretto è:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2+\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
"Mephlip":
Mi devi scusare, ho sbagliato un segno e mi sa che l'ho corretto mentre stavi scrivendo
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2+\frac{x^4}{3}}{x^6}
\]
Tranquill*
Oh, ma allora le cose si fanno più facili
. Diventa:\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{45}x^6}{x^6} = \frac{2}{45}
\]
Sì, sempre al netto degli \(\text{o}\)-piccoli. Vedi, qui se uno non va avanti col seno oltre al terzo ordine (non considerando così il doppio prodotto \(2x \cdot \frac{x^5}{120}\)), si perde un termine rilevante per il risultato del limite e giunge comunque a un limite finito ma errato. Quindi, penso fosse questo quello che intendeva il tuo docente. Comunque, sono un uomo 
.
.
"Mephlip":
Sì, sempre al netto degli \(\text{o}\)-piccoli. Vedi, qui se uno non va avanti col seno oltre al terzo ordine (non considerando così il doppio prodotto \(2x \cdot \frac{x^5}{120}\)), si perde un termine rilevante per il risultato del limite e giunge comunque a un limite finito ma errato. Quindi, penso fosse questo quello che intendeva il tuo docente.
Nella (scarna) dispensa che ci ha dato ha scritto quanto segue:
" Domanda: Come scelgo quanti termini dello sviluppo di Taylor devo prendere?
Guardando i vari termini che compongono la funzione da studiare, avendo un po' di esperienza ci si fa un idea di quali sono i termini piu importanti da confrontare e si cerca uno sviluppo che li contenga: ad es. nell esercizio 20 si vede che il denominatore Ë di secondo grado, quindi si cerca di sviluppare il numeratore in modo da avere almeno i termini di secondo grado e un resto di grado superiore (in modo da poterli confrontare con quelli al denominatore). "
Dove, l'es. 20 è
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}
\]
"Mephlip":
Comunque, sono un uomo
"ncant":
Dove, l'es. 20 è $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} $
Beh, qui comunque non c'è bisogno di ricorrere agli sviluppi in serie, a meno del segno è un limite notevole:
$ \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) - 1}{x^2} = - \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos(x)}{x^2} = - \lim_{x \to 0} \frac{(1 - cos(x))(1 + cos(x))}{x^2(1 + cos(x))} = $
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos^2(x)}{x^2(1 + cos(x))} = - \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + cos(x)} = $
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + cos(x)} = - 1 \cdot 1/2 = - 1/2 $
Grazie @pilloeffe 
. Mi accorgo sempre di cose nuove con te
. Mi accorgo sempre di cose nuove con te
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