Controllo esercizio su continuità e differenziabilità
Devo discutere la differenziabilità e continuità della funzione $ f(x,y) $ che vale $ ((x^3-xy)*e^x)/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)!= (0,0) $ mentre vale $ 0 $ se $ (x,y)= (0,0) $.
Ovviamente il tutto si riduce allo studio nel punto $ (0,0) $ . Ho fatto in questo modo: ho considerato la restrizione $ (x,y)=(x,0) $ e quindi il limite dovrebbe essere $ lim_(x -> 0) (x^3*e^x)/(x^2)=0 $ .
A questo punto considero la generica direzione $ vec(v)=(x,x) $ e calcolo il $ lim_(x -> 0)((x^3-x^2)*e^x)/( 2x^2)=lim_(x -> 0) (x^2*(xe^x-e^x))/(2x^2)=-1/2!= 0 $ e quindi il limite non esiste e la funzione non è continua in $ (0,0) $.
Non essendo continua in quel punto non è ivi differenziabile.
È giusto oppure ho scritto baggianate? Grazie a tutti per l'aiuto.
Ovviamente il tutto si riduce allo studio nel punto $ (0,0) $ . Ho fatto in questo modo: ho considerato la restrizione $ (x,y)=(x,0) $ e quindi il limite dovrebbe essere $ lim_(x -> 0) (x^3*e^x)/(x^2)=0 $ .
A questo punto considero la generica direzione $ vec(v)=(x,x) $ e calcolo il $ lim_(x -> 0)((x^3-x^2)*e^x)/( 2x^2)=lim_(x -> 0) (x^2*(xe^x-e^x))/(2x^2)=-1/2!= 0 $ e quindi il limite non esiste e la funzione non è continua in $ (0,0) $.
Non essendo continua in quel punto non è ivi differenziabile.
È giusto oppure ho scritto baggianate? Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
$\vec{v}=(x,x)$ non è una generica direzione ma è una direzione ben precisa(stai percorrendo la bisettrice del piano). $\vec{v}=(x,mx)$ è una generica direzione.
L'esercizio in ogni caso è corretto.
L'esercizio in ogni caso è corretto.
Si hai ragione, quell'aggettivo è sbagliato 
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Grazie!
.Grazie!
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