Controllo esercizio analisi 2

[moreno88]

Vorrei sapere se ho eseguito bene il calcolo di questo limite

$ lim y sin(x-1)/(x-1)^2 =
$ (x,y)->(1,2)$

Ho utilizzato il teorema del prodotto dei limiti e mi sono studiato
$f(x)= sin(x-1)/(x-1)^2 g(x)=y$
per la seconda $lim y=2$
$ y->2$

per la prima( il mio dubbio) $lim sin(x-1)/(x-1)^2= $ utilizzando gli asintotici... $sin(x-1)~x-1$ oppure ricorrendo al limite notevole ottengo
$ x->1$

$lim 1/(x-1)=$infinito per $x->1$

allora il limite totale per il prodotto è = infinito!


è giusto??'come ragionamentO???
ATTENDO le vostre risposte!grazie!

[Sk_Anonymous]

A me sembra più semplice sostituire $x-1\ =\ t$, da cui $x\ =\ t+1$ e, per $x->1$, $t->0$, dopo di che il limite diventa:
$lim_(x->1,y->2)\ y\ (sin(x-1))/(x-1)^2\ =\ lim_(t->0,y->2)\ y\ (sin\ t)/t^2$ che diventa: $lim_(t->0,y->2)\ y\ (sin(t))/t^2\ =\ lim_(t->0,y->2)\ y\ (sin\ t)/t*1/t$; facendo tendere le variabili ai loro rispettivi limiti, si ha: $2*1*1/0\ =\ oo$

[amel3]

Ma cos'è infinito??? Mi sono perso qualche innovazione dell'analisi? Mi hanno insegnato che $lim_{x->0}1/x$ non esiste!!!

[Fioravante Patrone1]

"amel":Ma cos'è infinito??? Mi sono perso qualche innovazione dell'analisi? Mi hanno insegnato che $lim_{x->0}1/x$ non esiste!!!

amel,
è una diatriba già vista. Si tratta dello "infinito senza segno". Non ripeto qui il mio punto di vista che ho già espresso, come puoi vedere dal post che ti linko, a partire dalla risposta di Tipper:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp78526.html#78526

Se poi qualcosa non ti quadra, ne possiamo "parlare"!
Ciao

[amel3]

Capisco... praticamente se ho capito bene si tratta di prendere in considerazione la compattificazione di Alexandrov $RR uu {oo}$ piuttosto che $RR uu {-oo}uu{+oo}$ (perdendo la possiblità di dare un ordinamento), giusto?

P.S.: Apperò, che memoria!!

[Fioravante Patrone1]

"amel":Capisco... praticamente se ho capito bene si tratta di prendere in considerazione la compattificazione di Alexandrov $RR uu {oo}$ piuttosto che $RR uu {-oo}uu{+oo}$ (perdendo la possiblità di dare un ordinamento), giusto?

Sì, direi proprio così. Magari è una visione un po' sofisticata, ma corretta.

"amel":P.S.: Apperò, che memoria!!