Controllare la limitatezza di f(x,y)

[ee4]

Buonsalve a tutti!
Ho questo esercizio:
data la funzione
$f(x,y)=x^2 y (x-y+1)$

devo trovare se la f è limitata
io ho provato con il cambio di coordinate polari trovando che:
$x= \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$

$|f(x,y)|=|x^2| |y| |(x-y+1)| = \rho^3 |cos^2 \theta| |sin \theta| |(\rho cos \theta - \rho sin \theta +1)|$

dato che sappiamo che in generale il modulo di cos x e sin x sono maggiorate da $1$ allora:
il tutto si riduce a $\rho^3$

che ne pensate?

sempre con la stessa funzione, si richiede la tangente alla curva di livello $f(x,y)=1$ nel punto $P=(1,1)$
basta usare il teorema del Dini:
$f_x (P) (x-x_0) + f_y (P) (y-y_0) = 0$

$f_x = y (3x^2 - 3xy + 2x)$

$f_y = x^2 (x-2y +1)$

a meno di errori di calcoli, dovrebbe venire $x-1=0$
spero qualcuno si trovi con me

[ee4]

up

[ciampax]

Ma limitata dove? Perché a me quella sembra palesemente illimitata. Anche senza fare tutto quel ragionamento, è immediato verificare che su $RR^2$ per valori sempre più grandi della $x$, mantenendo le $y$ fissate, quella roba "esplode". Volendo basta pensare a cosa succede se $y=mx$.

Per la seconda: ammesso che i calcoli siano giusti (non ho controllato) la curva di livello è $x-1=0,\ z=1$ (quello che hai scritto tu è un piano).

[ee4]

giusto...l'avrei dovuto intuire dal fatto che è un polinomio. di solito scritti così, facendo un cambiamento come il tuo diventa una funzione di una sola variabile reale e dunque esplode per $x->+oo$ certo immaginarlo graficamente sarebbe meglio <.<
grazie.