Controesempio funzione localmente integrabile

[Alaska2]

Ciao a tutti, vorrei dimostrare che la seguente affermazione è falsa (è vera se si sostituisce \(\exists R_n\) con \(\forall R_n\)):

Se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).

Mi aiutate a trovare un controesempio per dimostrarlo?

Io avevo pensato di usare \(f_n(x)=1/n\) e porre \( \mathbb{R}^N=\cup_{n\in\mathbb{N}}\bar{B}_{R_{n+1}}(0)\setminus\bar{B}_{R_n}(0)\) per poi far vedere che \(\int_{\mathbb{R}^N} |f|d\mu\rightarrow +\infty\) in quanto la serie diverge. Avete altre idee?

[gugo82]

L'idea è quella.

Insomma, se \(r_n\) è la successione crescente dei tuoi raggi, puoi sempre scegliere una successione di costanti \(c_n>0\) tali che la serie:
\[
\sum_{n=0}^\infty \omega_N\ (r_{n+1}^N-r_n^N)\ c_n
\]
diverga (qui \(\omega_N\) è la misura della palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\)).
Tale serie è l'integrale di un'opportuna funzione semplice (che ha come insiemi di livello le corone circolari di raggi \(r_n,r_{n+1}\)) la quale è certamente in \(L_{loc}^1\) e però non è \(L^1\).