Controesempi
Salve, sto cercando di costruire controesempi di alcuni fatti togliendo alcune ipotesi oppure facendo vedere che il loro viceversa non vale (nel caso in cui non vi è $<=>$)
L'ho dimostrato con il primo teorema dei valori intermedi. Un controesempio che mi sono costruito per far vedere che la continuità è essenziale è $f:[0,1]->\RR$
$f(x)={(x, if x\in[0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f[0,1]=[0,1]\uu{2}$
Per quanto riguarda il viceversa, ho pensato a $g: (0,1]->\RR$
$g(x)={(\frac{1} {x}, if x\in(0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f((0,1])=[1,+\infty)$ ma $f$ non è continua in $I=(0,1]$
Questo controesempio l'ho costruito consapevole che vale
infatti la mia $g$ non è monotona.
Per ora i controesempi vanno bene? La mia domanda è: come posso costruire controesempi all'implicazione $<=$ di T2, monca ovviamente dell'ipotesi di monotonia, in cui $I$ è del tipo $[a,b]$ o è illimitato superiormente/inferiormente?
Grazie a chiunque risponderà
Ps: corretto quel "continua in I" in "è un intervallo", per sbaglio ho riscritto una parte Delle ipotesi
T1: Sia $f:I->\RR$ una funzione e $I$ un intervallo in cui $f$ è continua. Allora $f(I)$ è un intervallo
L'ho dimostrato con il primo teorema dei valori intermedi. Un controesempio che mi sono costruito per far vedere che la continuità è essenziale è $f:[0,1]->\RR$
$f(x)={(x, if x\in[0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f[0,1]=[0,1]\uu{2}$
Per quanto riguarda il viceversa, ho pensato a $g: (0,1]->\RR$
$g(x)={(\frac{1} {x}, if x\in(0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f((0,1])=[1,+\infty)$ ma $f$ non è continua in $I=(0,1]$
Questo controesempio l'ho costruito consapevole che vale
T2: Sia $f:I->\RR$ una funzione e $I$ un intervallo in cui $f$ è monotona. $f$ è continua in $I$ se e solo se $f(I)$ è un intervallo$
infatti la mia $g$ non è monotona.
Per ora i controesempi vanno bene? La mia domanda è: come posso costruire controesempi all'implicazione $<=$ di T2, monca ovviamente dell'ipotesi di monotonia, in cui $I$ è del tipo $[a,b]$ o è illimitato superiormente/inferiormente?
Grazie a chiunque risponderà
Ps: corretto quel "continua in I" in "è un intervallo", per sbaglio ho riscritto una parte Delle ipotesi
Risposte
Ora sono al cellulare e non posso risponderti, ma stasera (o al limite nei prossimi giorni) una risposta te la dò.
Grazie mille, ti aspetterò 
"Cantor99":
Salve, sto cercando di costruire controesempi di alcuni fatti togliendo alcune ipotesi oppure facendo vedere che il loro viceversa non vale (nel caso in cui non vi è $<=>$)
Prima di tutto BRAVO, BRAVO, BRAVO, è così che si impara per bene l'analisi (beh, in realtà un po' tutta la matematica).
[quote]T1: Sia $f:I->\RR$ una funzione e $I$ un intervallo in cui $f$ è continua. Allora $f(I)$ è un intervallo
L'ho dimostrato con il primo teorema dei valori intermedi. Un controesempio che mi sono costruito per far vedere che la continuità è essenziale è $f:[0,1]->\RR$
$f(x)={(x, if x\in[0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f[0,1]=[0,1]\uu{2}$[/quote]
Questo va bene (anche se $1$ non sta nell'immagine di $f$), ma io preferisco fare controesempi più "drastici", come quello che stai per vedere: se togliamo la continuità, prendo un QUALSIASI sottoinsieme $X$ di $RR$ che abbia almeno due punti (sia $x_0$ uno di questi), allora definisco $f:X->RR$ come $f(x)={(1,if x=x_0),(0,if x!=x_0):}$, allora l'immagine è ${0}uu{1}$, che chiaramente non è un intervallo.
Per quanto riguarda il viceversa, ho pensato a $g: (0,1]->\RR$
$g(x)={(\frac{1} {x}, if x\in(0,1)),(2, if x=1):}$
Si ha $f((0,1])=[1,+\infty)$ ma $f$ non è continua in $I=(0,1]$
Si, questo è vero ma ti faccio notare che questa versione del viceversa non è completamente soddisfacente, perché l'enunciato originale vale per ogni intervallo, te il controesempio lo stai facendo solo su tutto il dominio, qualcuno potrebbe dirti che, dato che $f((2/3,1])=(1,3/2)uu{2}$ non è un intervallo, è irragionevole aspettarsi che la funzione sia continua, quindi la giusta formulazione del viceversa dovrebbe essere che se l'immagine di un qualsiasi intervallo è a sua volta un intervallo allora è continua, che comunque non è vero, veniamo al controesempio: anche stavolta ci sarebbero controesempi drastici, ma sono un filo complicati, quindi accontentiamoci di uno un po' più facile, che è il seguente: $f:RR->RR, f(x)={(0,if x=0),(sin(1/x),if x!=0):}$, ti lascio come esercizio di verificare che questa funzione soddisfa la proprietà che avevo detto prima, se non ti riesce me lo dici e te lo spiego.
Questo controesempio l'ho costruito consapevole che vale
[quote]T2: Sia $f:I->\RR$ una funzione e $I$ un intervallo in cui $f$ è monotona. $f$ è continua in $I$ se e solo se $f(I)$ è continua in $I$(volevi dire un intervallo?)
infatti la mia $g$ non è monotona.
Per ora i controesempi vanno bene? La mia domanda è: come posso costruire controesempi all'implicazione $<=$ di T2, monca ovviamente dell'ipotesi di monotonia, in cui $I$ è del tipo $[a,b]$ o è illimitato superiormente/inferiormente?[/quote]
Se manca l'ipotesi di monotonia già la funzione che avevi detto te va bene come controesempio, ma anche quella che avevo detto io, se ci pensi bene, il secondo teorema senza la monotonia è il primo teorema, il senso del secondo teorema è infatti che ti dice una condizione in cui vale il viceversa del primo, quindi non ha molto senso togliercela come ipotesi.
Grazie a chiunque risponderà
Prego
Prima cosa ti ringrazio per aver tenuto fede alla promessa 
Seconda cosa, prendo atto della svista dell'1 incluso nell'immagine della mia $f$ e dell'enunciato errato di T2 (che ho corretto già)
Il tuo primo controesempio drastico è così semplice e chiaro che mi soddisfa appieno e non necessita di ulteriori commenti.
Per quanto riguarda il tuo secondo controesempio, ho capito di cosa difetta il mio. Nel tuo si ha $f(\RR)=[-1,1]$ e, qualunque sia $X\sub\RR$ si ha $f(X)\sub\[-1,1]$. In particolare se prendo $X$ che contiene l'origine ho il controesempio voluto. Mentre se prendo un $X$ fatto solo di reali positivi (negativi) ho una prova di T1. E' questo quello che intendevi?
Ti ringrazio nuovamente
Seconda cosa, prendo atto della svista dell'1 incluso nell'immagine della mia $f$ e dell'enunciato errato di T2 (che ho corretto già)
Il tuo primo controesempio drastico è così semplice e chiaro che mi soddisfa appieno e non necessita di ulteriori commenti.
"otta96":
Si, questo è vero ma ti faccio notare che questa versione del viceversa non è completamente soddisfacente, perché l'enunciato originale vale per ogni intervallo, te il controesempio lo stai facendo solo su tutto il dominio, qualcuno potrebbe dirti che, dato che $ f((2/3,1])=(1,3/2)uu{2} $ non è un intervallo, è irragionevole aspettarsi che la funzione sia continua, quindi la giusta formulazione del viceversa dovrebbe essere che se l'immagine di un qualsiasi intervallo è a sua volta un intervallo allora è continua, che comunque non è vero, veniamo al controesempio: anche stavolta ci sarebbero controesempi drastici, ma sono un filo complicati, quindi accontentiamoci di uno un po' più facile, che è il seguente: $ f:RR->RR, f(x)={(0,if x=0),(sin(1/x),if x!=0):} $, ti lascio come esercizio di verificare che questa funzione soddisfa la proprietà che avevo detto prima, se non ti riesce me lo dici e te lo spiego.
Per quanto riguarda il tuo secondo controesempio, ho capito di cosa difetta il mio. Nel tuo si ha $f(\RR)=[-1,1]$ e, qualunque sia $X\sub\RR$ si ha $f(X)\sub\[-1,1]$. In particolare se prendo $X$ che contiene l'origine ho il controesempio voluto. Mentre se prendo un $X$ fatto solo di reali positivi (negativi) ho una prova di T1. E' questo quello che intendevi?
Ti ringrazio nuovamente
Non proprio, quello che intendevo è che se prendi un qualsiasi INTERVALLO $I\subRR$, allora $f(I)$ è anche lui un intervallo, infatti se questo intervallo non contiene lo $0$ , la funzione è continua in $I$, quindi $f(I)$ è un intervallo, altrimenti se lo $0$ ci appartiene, l'intervallo conterrà almeno un intervallo della forma $(-a,0]$ o $[0,a)$ ($a>0$) e per come è stata costruita la funzione, intorno allo $0$ la funzione oscilla infinitamente tra $-1$ e $1$, quindi la sua immagine (cioè di un intervallo che contiene lo $0$) è $[-1,1]$, quindi riassumendo questa funzione manda un qualsiasi intervallo in un intervallo, che è una proprietà che le funzioni continue hanno, ma nonostante ciò non è continua (è discontinua in $0$).
Perfetto, mi è tutto chiaro grazie mille
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