Contrazione tra spazi metrici

thedarkhero
Considero $X=C([0,1])$ munito della norma $||*||_(oo)$ e l'applicazione $T:X->X$ definita da $T(f)(x)=e^(-alphax)\int_{0}^{x} e^(alphat)f(t)dt$ con $alpha>0$.
Voglio provare che è una contrazione.

Devo dunque mostrare che esiste $0
Ho provato la seguente maggiorazione:
$||T(f)-T(g)||_(oo)="sup"_(x\in[0,1])|e^(-alphax)\int_{0}^{x} e^(alphat)f(t)dt-e^(-alphax)\int_{0}^{x} e^(alphat)g(t)dt|=$
$="sup"_(x\in[0,1])e^(-alphax)|\int_{0}^{x} e^(alphat)(f(t)-g(t))dt|<="sup"_(x\in[0,1])e^(-alphax)\int_{0}^{x} e^(alphat)|f(t)-g(t)|dt$
ma arrivato qui non ho idea di come poter proseguire...

Risposte
Sk_Anonymous
Basta osservare che \[ e^{-\alpha x} \int_{0}^{x} e^{\alpha t} |f(t) - g(t) | \, dt \le e^{-\alpha x} \int^{x}_{0} e^{\alpha t} \|f - g \|_{\infty} \, dt=\] \[=\|f - g \|_{\infty} e^{-\alpha x} \int^{x}_{0} e^{\alpha t} \, dt \]
A questo punto integro ed ottengo \[ \| f- g \|_{\infty} e^{-\alpha x} \left(\frac{e^{\alpha x}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha} \right)=\|f-g\|_{\infty} \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha e^{\alpha x}} \right) \] osservo poi che se \(x \in [0,1]\) vale \[ \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha e^{\alpha x}} \right) \ge 0 \] e si ha chiaramente \[ \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha e^{\alpha x}} \right) < \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha e^{\alpha}} \right) \]
Infine con un piccolo studio di funzione ci si accorge che vale \[0<\left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha e^{\alpha}} \right)<1\] se \(\alpha>0\). Questo dovrebbe concludere la dimostrazione.

thedarkhero
La maggiorazione che hai fatto nel primo passaggio la posso fare in quanto la funzione integranda è positiva giusto?
Grazie mille, tutto chiaro!! ;)

Sk_Anonymous
"thedarkhero":
La maggiorazione che hai fatto nel primo passaggio la posso fare in quanto la funzione integranda è positiva giusto? [...]

Sì, ho usato la monotonia dell'integrale ed il fatto che \(\forall \, t \) (eventualmente in qualche intervallo, come nel nostro caso) valga \[ |f(t) - g(t)| \le \|f - g\|_{\infty} \]

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