Contrazione in uno spazio metrico - Problema di Distanza

[Zayko]

Non riesco a capire come possa esistere una contrazione; mi spiego meglio, essa è definita come una funzione da uno spazio metrico in sé stesso per cui vale il fatto che la distanza tra l'una e l'altra ordinata della funzione è minore o al massimo uguale alla distanza tra una e l'altra ascissa corrispondenti alle due ordinate. D'altra parte però, prendendo due punti qualsiasi di una funzione, se la distanza tra le ascisse è data dal segmento ricavato dalla retta parallela all'asse delle ascisse che interseca i due punti, la distanza tra le ordinate è sempre l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateto quello stesso segmento. E per la disuguaglianza triangolare, o qualcosa del genere che si ricava da lì se non sbaglio, l'ipotenusa è sempre maggiore dei cateti presi singolarmente. Dove sbaglio? Come può essere fatta e dove può essere presa una funzione del genere? ( Sicuramente mi son scordato qualcosa e non lo so ). Grazie anticipatamente per le eventuali risposte

[gugo82]

"Zayko":Non riesco a capire come possa esistere una contrazione [...]

Prendi come spazio metrico \(\mathbb{R}\) con la distanza \(d(x,y):=|x-y|\) e prova che ogni funzione del tipo:
\[
f(x):= ax+b\; ,
\]
con \(0<|a|<1\) e \(b\in \mathbb{R}\), è una contrazione di \(\mathbb{R}\).

[Zayko]

mi viene che il modulo di meno a dev'essere minore o uguale di k, ho sbagliato? ( se kappa può essere anche uno affinché sia contrazione dovrebbe essere sempre verificato ). Ma quindi la distanza anche sulle y è distanza da una y all'altra direttamente, e non la distanza presa sul grafico?

[gugo82]

E chi è \(k\)?
Non vedo alcuna lettera del genere in ciò che ho scritto... Mah.

Ad ogni modo, la definizione di contrazione ti dice già quale distanza stai prendendo nel dominio e nel codominio; quindi in ciò che ho scritto è abbastanza chiaro cosa intendessi.
Se proprio devo essere più formale, riformulo la mia richiesta precedente come segue:

Si consideri lo spazio metrico \((X,d_X) =(\mathbb{R}, d)\), ove \(d:\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto |x-y|\in \mathbb{R}\).
Per ogni coppia di parametri \((a,b)\in ]-1,1[\times \mathbb{R}\), si condideri l'applicazione dello spazio \((\mathbb{R},d)\) in sé definita ponendo:
\[
f_{a,b}: \mathbb{R}\ni x\mapsto ax+b\in \mathbb{R}
\]
e si provi che essa è una contrazione di \((\mathbb{R},d)\), cioè si provi che esiste un \(\theta := \theta_{a,b}\in [0,1[\) tale che:
\[
\forall x,y\in \mathbb{R},\quad d(f_{a,b}(x),f_{a,b}(y))\leq \theta\ d(x,y)\; .
\]

[Zayko]

No sì, ho capito. Scusami, mi sono espresso male io.