Contrazione e punto fisso
Salve a tutti. Sto studiando il teorema di Banch Caccioppoli e sto cercando di formulare un esempio attraverso le varie definizioni:
1)Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Sia$T:X->X$ una contrazione, se $AsubeX$ è completo allora il punto fisso esiste ed è unico.
Dunque supponiamo che io abbia:
$f(x)=(-x+1)/2$ (è continua e $RR,d_e$ ove $d_e$ è la metrica della distanza euclidea) allora l' unico punto fisso si può trovare se c'è un qualche intervallo tale per cui la funzione $f(x)$ rispetti la definizione di contrazione : $d(T(x),T(y))<=cd(x,y),cin[0,1)$ si ha quindi che la definizione è rispettata per ogni punto di $(-oo,+oo)$ dato che la costante di Lipschietz è$c=-1/2$, dunque basterà trovare l' unico punto fisso,ovvero: $f(x)=x=1/3=f(1/3)$.
Benissimo ho tutto quello che mi occorre; come posso ora definire la successione ${x_n},ninN$ tale che:
$T(x_n)=x_(n+1)$
?
Grazie
1)Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Sia$T:X->X$ una contrazione, se $AsubeX$ è completo allora il punto fisso esiste ed è unico.
Dunque supponiamo che io abbia:
$f(x)=(-x+1)/2$ (è continua e $RR,d_e$ ove $d_e$ è la metrica della distanza euclidea) allora l' unico punto fisso si può trovare se c'è un qualche intervallo tale per cui la funzione $f(x)$ rispetti la definizione di contrazione : $d(T(x),T(y))<=cd(x,y),cin[0,1)$ si ha quindi che la definizione è rispettata per ogni punto di $(-oo,+oo)$ dato che la costante di Lipschietz è$c=-1/2$, dunque basterà trovare l' unico punto fisso,ovvero: $f(x)=x=1/3=f(1/3)$.
Benissimo ho tutto quello che mi occorre; come posso ora definire la successione ${x_n},ninN$ tale che:
$T(x_n)=x_(n+1)$
?
Grazie
Risposte
La successione a cui tu ti riferisci è una successione che viene definita all'interno della dimostrazione del teorema proprio usando quella relazione, non è una successione da trovare! La dimostrazione non ti dice che esiste una successione \(\displaystyle x_n \) convergente e verificante quella proprietà, ma ti dice che per ogni \(\displaystyle x_1 \in X \) arbitrario la successione
\(\displaystyle \: x_2=T(x_1) \, , \; x_3=T(x_2)=T^2(x_1) \, , \ldots, \; x_{n+1}=T(x_n)=T^n(x_1) \)
è di Cauchy, e quindi converge per completezza. Per continuità della distanza poi dimostri che tale \(\displaystyle x \) è un punto fisso di \(\displaystyle T \). Dopo provi l'unicità.
Quello che tu puoi fare per esercizio è verificare che se \(\displaystyle f(x)=ax+b, |a|<1 \; \; \, \) è una funzione reale a variabili reali, allora per ogni \(\displaystyle x_1\in \mathbb R \, \) la successione
\(\displaystyle \: x_{n+1}=f^n(x_1)=a^nx_1+b\sum_{k=0}^{n-1}a^k=a^nx_1+b\frac{1-a^n}{1-a} \)
converge a quell'elemento \(\displaystyle x \in \mathbb R \) tale che
\(\displaystyle \: ax+b=x \)
\(\displaystyle \: x_2=T(x_1) \, , \; x_3=T(x_2)=T^2(x_1) \, , \ldots, \; x_{n+1}=T(x_n)=T^n(x_1) \)
è di Cauchy, e quindi converge per completezza. Per continuità della distanza poi dimostri che tale \(\displaystyle x \) è un punto fisso di \(\displaystyle T \). Dopo provi l'unicità.
Quello che tu puoi fare per esercizio è verificare che se \(\displaystyle f(x)=ax+b, |a|<1 \; \; \, \) è una funzione reale a variabili reali, allora per ogni \(\displaystyle x_1\in \mathbb R \, \) la successione
\(\displaystyle \: x_{n+1}=f^n(x_1)=a^nx_1+b\sum_{k=0}^{n-1}a^k=a^nx_1+b\frac{1-a^n}{1-a} \)
converge a quell'elemento \(\displaystyle x \in \mathbb R \) tale che
\(\displaystyle \: ax+b=x \)
Grazie della risposta. Non ho però afferrato bene il concetto! mi stai dicendo che la dimostrazione fa solo uso teorico della definizione di contrazione e di metrica per garantirci la convergenza dato che la successione di termini cosi' definiti è una successione di Cauchy?
Questo è l'inizio della dimostrazione (non la sto copiando la improvviso, comunque se la cerchi su internet vedrai che i passaggi sono gli stessi). Te la farei tutta ma devo uscire.
Sia \(\displaystyle T \) una contrazione tale che per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
\(\displaystyle d(T(x),T(y)) \leq c d(x,y)\)
con \(\displaystyle 0 \leq c <1 \)
Osserviamo che (la prova si fa per induzione)
\(\displaystyle d(T^n(x),T^n(y)) \leq c^nd(x,y)\)
Osserviamo anche che per ogni \(\displaystyle x \in X \)
\(\displaystyle d(x,T^2(x)) \leq d(x,T(x)) + d(T(x),T^2(x)) \ \leq d(x,T(x)) +c d(x,T(x)) = (1+c)d(x,T(x)) \)
Infatti, per induzione si ha che
\(\displaystyle d(x,T^n(x)) \leq (1+c + \ldots + c^{n-1})d(x,T(x)) = d(x,T(x))\sum_{k=0}^{n-1}c^k \)
Fissiamo ora un punto \(\displaystyle x_0 \in X \). Se consideriamo la successione definita per ricorrenza
\(\displaystyle \, x_{n+1}=T(x_n) \text{ per ogni } n \geq0 \)
allora sempre per induzione si verifica che \(\displaystyle x_{n}=T^n(x_0) \) per ogni \(\displaystyle n \geq0 \).
Quindi per \(\displaystyle n \geq 1 \) e \(\displaystyle k \geq 0 \) si ha che
\(\displaystyle d(x_{n+k}, x_n) = d(T^{n+k}(x_0), T^{n}(x_0)) \leq c^nd(x_0,T^k(x_0) )\leq c^nd(x_0,T(x_0))\sum_{i=0}^{\infty} c^i \)
Poiché al crescere di \(\displaystyle n \) il termine di destra va a \(\displaystyle 0 \), allora \(\displaystyle x_n \) è di Cauchy.
Un'altra cosa che ti dico al volo: se vuoi applicare il teorema a un sottospazio chiuso \(\displaystyle A \subseteq X \), con \(\displaystyle f : X \rightarrow X \) una contrazione, devi prima verificare che \(\displaystyle f(A) \subseteq A\).
Detto ció rivediti la dimostrazione e buono studio. Ciaooo
Sia \(\displaystyle T \) una contrazione tale che per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
\(\displaystyle d(T(x),T(y)) \leq c d(x,y)\)
con \(\displaystyle 0 \leq c <1 \)
Osserviamo che (la prova si fa per induzione)
\(\displaystyle d(T^n(x),T^n(y)) \leq c^nd(x,y)\)
Osserviamo anche che per ogni \(\displaystyle x \in X \)
\(\displaystyle d(x,T^2(x)) \leq d(x,T(x)) + d(T(x),T^2(x)) \ \leq d(x,T(x)) +c d(x,T(x)) = (1+c)d(x,T(x)) \)
Infatti, per induzione si ha che
\(\displaystyle d(x,T^n(x)) \leq (1+c + \ldots + c^{n-1})d(x,T(x)) = d(x,T(x))\sum_{k=0}^{n-1}c^k \)
Fissiamo ora un punto \(\displaystyle x_0 \in X \). Se consideriamo la successione definita per ricorrenza
\(\displaystyle \, x_{n+1}=T(x_n) \text{ per ogni } n \geq0 \)
allora sempre per induzione si verifica che \(\displaystyle x_{n}=T^n(x_0) \) per ogni \(\displaystyle n \geq0 \).
Quindi per \(\displaystyle n \geq 1 \) e \(\displaystyle k \geq 0 \) si ha che
\(\displaystyle d(x_{n+k}, x_n) = d(T^{n+k}(x_0), T^{n}(x_0)) \leq c^nd(x_0,T^k(x_0) )\leq c^nd(x_0,T(x_0))\sum_{i=0}^{\infty} c^i \)
Poiché al crescere di \(\displaystyle n \) il termine di destra va a \(\displaystyle 0 \), allora \(\displaystyle x_n \) è di Cauchy.
Un'altra cosa che ti dico al volo: se vuoi applicare il teorema a un sottospazio chiuso \(\displaystyle A \subseteq X \), con \(\displaystyle f : X \rightarrow X \) una contrazione, devi prima verificare che \(\displaystyle f(A) \subseteq A\).
Detto ció rivediti la dimostrazione e buono studio. Ciaooo
la tua ultima osservazione non si può ridurre a :$AsubeX$ spazio metrico completo?
Se vuoi dire che il punto fisso sta in \(\displaystyle A \) applicando il teorema di Banach Caccioppoli alla restrizione di \(\displaystyle f \) su \(\displaystyle A \), allora per forza devi verificare che \(\displaystyle f(A) \subseteq A\).
Inoltre, il fatto fichissimo è che...
un sottospazio di un completo è completo se e solo se è chiuso!
Ciaoneee
Inoltre, il fatto fichissimo è che...
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Ciaoneee
Grazie
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