Contrazione di funzione definita su $C^0$

Angus1956
Sia $T:C^0[a,b]->C^0[a,b]$ la funzione tale che $f(s)->\int_{a}^{b} k(s,t)f(t)dt$ dove $k:[a,b]xx[a,b]->RR$ continua. Trovare delle condizioni su $k$ che rendono $T$ una contrazione.
Usando la norma di $C^0$ la condizione di contrazione da mostrare sarebbe $s up|\int_{a}^{b} (k(s,t)-k(v,t))f(t)dt|<=Ls up|f(s)-f(t)|$ con $0<=L<1$. Intanto l'integrale è ben definito perchè $f$ e $k$ sono continue e quindi prodotto e somma di funzioni continue è ancora continua e quindi Riemann-integrabile. Poi però non so bene come procedere, qualche idea?

Risposte
Mathita
Sai che non mi torna la condizione di contrazione? Io l'avrei scritta in questo modo (da prendere con le pinze): esiste $L\in [0,1)$ tale che

$\mbox{sup}_{s\in [a,b]}|\int_{a}^{b}k(s,t)(f(t)-g(t))\mbox{d}t|\le L\ \mbox{sup}_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|$

Che ne pensi?

Se la cosa regge, allora la condizione richiesta dovrebbe essere $\frac{\mbox{max}|k(s,t)|}{b-a}<1$ [Edit](No, vedi dopo)[/Edit].

Angus1956
"Mathita":
Sai che non mi torna la condizione di contrazione? Io l'avrei scritta in questo modo (da prendere con le pinze): esiste $L\in [0,1)$ tale che

$\mbox{sup}_{s\in [a,b]}|\int_{a}^{b}k(s,t)(f(t)-g(t))\mbox{d}t|\le L\ \mbox{sup}_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|$

Che ne pensi?


Si hai ragione, mi sono confuso con i valori, grazie

Mathita
Giusto per chiarire, sai procedere in autonomia ora?

Angus1956
"Mathita":

Se la cosa regge, allora la condizione richiesta dovrebbe essere $\frac{\mbox{max}|k(s,t)|}{b-a}<1$.

C'è qualcosa che non mi torna però:
Usando la disugualianza triangolare integrale abbiamo che $ s up|\int_{a}^{b} k(s,t)(f(t)-g(t))dt|<= s up(\int_{a}^{b} |k(s,t)||(f(t)-g(t))|dt)$, poi osservo che $|k(s,t)||(f(t)-g(t))|<=s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))|$ quindi per monotonia integrale $s up(\int_{a}^{b} |k(s,t)||(f(t)-g(t))|dt)<=s up(\int_{a}^{b} s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))| dt)=s up(s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))|\int_{a}^{b}dt)=s up(s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))|(b-a))=s up|k(s,t)|(b-a)s up|(f(t)-g(t))|$.
Quindi mi verrebbe $s up|k(s,t)|(b-a)<1$. Ora sono un po' di fretta quindi potrei aver sbagliato qualcosa, fammi sapere.

Mathita
Opporc... Sì, hai ragione. Avevo calcolato la condizione a mente, e ho fatto disastri. Scusami! Spero che tu non ci abbia perso troppo tempo su questa cosa a causa mia.

Angus1956
"Mathita":
Opporc... Sì, hai ragione. Avevo calcolato la condizione a mente, e ho fatto disastri. Scusami! Spero che tu non ci abbia perso troppo tempo su questa cosa a causa mia.

No non ti preoccupare, anzi pensavo di aver sbagliato io perciò ti ho scritto subito appena avevo fatto.

Angus1956
"andreadel1988":
Poi osservo che $|k(s,t)||(f(t)-g(t))|<=s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))|$ quindi per monotonia integrale $s up(\int_{a}^{b} |k(s,t)||(f(t)-g(t))|dt)<=s up(\int_{a}^{b} s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))| dt)$

Prima avevo pensato anche un'altra cosa ma credo che sia altamente sbagliata ovvero che $s up(\int_{a}^{b} |k(s,t)||(f(t)-g(t))|dt)=\int_{a}^{b} s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))|dt=s up|k(s,t)|s up|(f(t)-g(t))| (b-a)$
Dovrebbe essere sbagliata, no?(intendo la prima ugualianza)

Mathita
Sì, è sbagliata. Come controesempio, considera la funzione $h(t)=\int_{1}^{4}t\cdot 2x dx$ con $t\in [0,1]$

$\mbox{sup}_{t\in [0,1]}(h(t))=\mbox{sup}_{t\in [0,1]}(15 t)=15$

Siccome $\mbox{sup}_{x\in [1,4]}(2x)=8$ e $\mbox{sup}_{t\in [0,1]}t=1$ hai che $\int_{1}^{4}\mbox{sup}(2x)\mbox{sup}(t) dx=8 \cdot 3=24$

[Edit] Ho editato il risultato. Oggi non ne azzecco una manco a pagare.

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