Conto integrale in R^2
Ciao a tutti!
Sono alle prese con questo esercizio, che di per sé è una banalità, ma non riesco a fare i conti :/
Sia $f(x)=min(1,|x|^\alpha)$ con $x=(x_1,x_2)$. Trovare gli $\alpha\in\mathbb{R}$ per cui $f$ sta in $L^2(\mathbbR^2)$.
Bene, a questo punto ho pensato di calcolare/stimare la norma 2 della funzione. Quindi (facciamo al quadrato per comodità)
$||f||_2^{2}= \int_{\mathbb{R^2}} |f(x)|^2 dx=...$
Ecco con questo $min$ non so proprio come impostare il conto. Mi potete spiegare come fare? :,(
Sono alle prese con questo esercizio, che di per sé è una banalità, ma non riesco a fare i conti :/
Sia $f(x)=min(1,|x|^\alpha)$ con $x=(x_1,x_2)$. Trovare gli $\alpha\in\mathbb{R}$ per cui $f$ sta in $L^2(\mathbbR^2)$.
Bene, a questo punto ho pensato di calcolare/stimare la norma 2 della funzione. Quindi (facciamo al quadrato per comodità)
$||f||_2^{2}= \int_{\mathbb{R^2}} |f(x)|^2 dx=...$
Ecco con questo $min$ non so proprio come impostare il conto. Mi potete spiegare come fare? :,(
Risposte
Comincia facendo il disegno di cosa fa $f$ al variare di $\alpha$ (e poi se \(|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\) sarebbe meglio dirlo). Appena $x\ge 1$ e $\alpha > 0$... Mentre invece se $0<\alpha < 1$...
Sì il modulo è quello.
In realtà mi sono scoraggiato proprio plottando il grafico della $f$ su geogebra 3D.
Guardandolo\footnote{però è come barare, vorrei farlo a mano!} vedo che $|x|^\alpha$ e $1$ si intersecano in $B_1(0)$ , quindi potrei spezzare l'integrale in due pezzi, ma ho da calcolarmi il modulo dellla $f$ al quadrato e non riesco a procedere
In realtà mi sono scoraggiato proprio plottando il grafico della $f$ su geogebra 3D.
Guardandolo\footnote{però è come barare, vorrei farlo a mano!} vedo che $|x|^\alpha$ e $1$ si intersecano in $B_1(0)$ , quindi potrei spezzare l'integrale in due pezzi, ma ho da calcolarmi il modulo dellla $f$ al quadrato e non riesco a procedere
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