Continuità/unif. cont. in R^2
Sia \( E = [0,1] \times [0,1] - \{ (0,0) \} \)
\[ f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
1. \( f \) è continua su \( E \) ?
2. \( f \) è uniformemente continua su \( E \) ?
Per il punto 1. direi di si perché è definita in tutti i punti di \( E \) e l'unico punto "critico" non è incluso nel insieme \( E \), ma come faccio a dimostrarlo/giustificarlo in modo rigoroso?
Per il punto 2. posso dire no perché \( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \) non esiste? Dunque non continua in \( (0,0) \) ?
Infatti se esistesse avremmo che per tutte le successioni il limite è lo stesso ma prese la successione \( \vec{a}^{(k)}=(\frac{1}{k},0) \) e la successione \( \vec{b}^{(k)}= (0,\frac{1}{k}) \) abbiamo che in un caso (il primo) il limite è 1 e nel secondo è 0.
Sono abbastanza sicuro di poter dire che non esistendo il limite in \( (0,0) \) allora non è uniformemente continua ma non capisco bene il perché è sufficiente per provare che non lo è.
Grazie
\[ f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
1. \( f \) è continua su \( E \) ?
2. \( f \) è uniformemente continua su \( E \) ?
Per il punto 1. direi di si perché è definita in tutti i punti di \( E \) e l'unico punto "critico" non è incluso nel insieme \( E \), ma come faccio a dimostrarlo/giustificarlo in modo rigoroso?
Per il punto 2. posso dire no perché \( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \) non esiste? Dunque non continua in \( (0,0) \) ?
Infatti se esistesse avremmo che per tutte le successioni il limite è lo stesso ma prese la successione \( \vec{a}^{(k)}=(\frac{1}{k},0) \) e la successione \( \vec{b}^{(k)}= (0,\frac{1}{k}) \) abbiamo che in un caso (il primo) il limite è 1 e nel secondo è 0.
Sono abbastanza sicuro di poter dire che non esistendo il limite in \( (0,0) \) allora non è uniformemente continua ma non capisco bene il perché è sufficiente per provare che non lo è.
Grazie
Risposte
Non ho capito un cosa: la funzione la consideri su $[0,1]times[0,1]$ e la definisci come segue?
Se è questa allora non è continua e quindi nemmeno uniformemente continua
Non mi è molto chiara la definizione di $f$.
$f(x):={(x/sqrt(x^2+y^2) if (x,y) in Esetminus{(0,0)}),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
Se è questa allora non è continua e quindi nemmeno uniformemente continua
Non mi è molto chiara la definizione di $f$.
@arnett
Ma se l’ha definita nel quadrato meno che nell’origine non ha senso mettere quel “$0$ altrimenti”
Ma se l’ha definita nel quadrato meno che nell’origine non ha senso mettere quel “$0$ altrimenti”
Non è confuso, ragassuoli. Si poteva fare a meno di specificare il valore di f in (0,0), vero, ma la domanda è ben precisa.
La funzione è continua su E. La domanda interessante è: questa funzione, può mai essere uniformemente continua? Se lo fosse, essa ammetterebbe estensione continua alla chiusura di E... E ho detto tutto. (se passa da qua Gugo può mettere un link a Peppino de Filippo).
La funzione è continua su E. La domanda interessante è: questa funzione, può mai essere uniformemente continua? Se lo fosse, essa ammetterebbe estensione continua alla chiusura di E... E ho detto tutto. (se passa da qua Gugo può mettere un link a Peppino de Filippo).
Mi ha fuorviato un pochino quella posizione.
Bello questo, non lo sapevo. Sai dove posso trovare qualcosa in merito?
"dissonance":
ammetterebbe estensione continua sulla chiusura
Bello questo, non lo sapevo. Sai dove posso trovare qualcosa in merito?
Dimostralo tu. Sia \(E\) un sottoinsieme dello spazio metrico \(X\). Se \(f\colon E\to \mathbb R\) è uniformemente continua, allora \(f\) ammette estensione continua a \(\overline E\). (Vale anche il viceversa se \(\overline E\) è compatto, il che è una ovvia conseguenza del teorema di Heine-Cantor).
Suggerimento: sia \(x\in \overline E \setminus E\). Si consideri \(x_n\in E, x_n\to x\). Allora la successione \(f(x_n)\) è di Cauchy, quindi si può definire \(f(x):=\lim f(x_n)\). Occorre mostrare che la definizione è ben posta, perché indipendente dalla particolare successione \(x_n\to x\) scelta, e che la funzione così definita è continua in \(x\).
Suggerimento: sia \(x\in \overline E \setminus E\). Si consideri \(x_n\in E, x_n\to x\). Allora la successione \(f(x_n)\) è di Cauchy, quindi si può definire \(f(x):=\lim f(x_n)\). Occorre mostrare che la definizione è ben posta, perché indipendente dalla particolare successione \(x_n\to x\) scelta, e che la funzione così definita è continua in \(x\).
@peppe
[ot]ho ritardato nella risposta perché pensavo che la cosa si potesse estendere.
Se prendiamo due spazi metrici $X,Y$ con;
- $A$ denso in $X$
- $Y$ completo
- $f:A->Y$ continua
Allora esiste un’unica estensione continua $f_1:X->Y$
dimostrazione
Sicuramente se l’estensione esiste è unica in quanto se $f_2$ è un’altra estensione continua di $f$ allora coincidono su un sottoinsieme denso e con codominio di Hausdorff quindi $f_1=f_2$
Chiaramente le funzioni uniformemente continue trasformano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy, quindi se prendiamo un punto $x in overline(A)setminusA$ possiamo trovare una successione ${x_n}subsetA$ che vi converge ed essendo di Cauchy anche ${f(x_n)}$ lo è, essendo $Y$ completo tale successione converge.
Inoltre dimostrare che il limite di $f(x_n)$ non dipenda dalla successione scelta significa proprio che l’estensione è continua poiché è banalmente continua su $A$ e continua “per successioni” in ogni punto di aderenza.
Al momento non mi viene nulla per dimostrare la non dipendenza; spero che sia il sonno.[/ot]
[ot]ho ritardato nella risposta perché pensavo che la cosa si potesse estendere.
Se prendiamo due spazi metrici $X,Y$ con;
- $A$ denso in $X$
- $Y$ completo
- $f:A->Y$ continua
Allora esiste un’unica estensione continua $f_1:X->Y$
dimostrazione
Sicuramente se l’estensione esiste è unica in quanto se $f_2$ è un’altra estensione continua di $f$ allora coincidono su un sottoinsieme denso e con codominio di Hausdorff quindi $f_1=f_2$
Chiaramente le funzioni uniformemente continue trasformano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy, quindi se prendiamo un punto $x in overline(A)setminusA$ possiamo trovare una successione ${x_n}subsetA$ che vi converge ed essendo di Cauchy anche ${f(x_n)}$ lo è, essendo $Y$ completo tale successione converge.
Inoltre dimostrare che il limite di $f(x_n)$ non dipenda dalla successione scelta significa proprio che l’estensione è continua poiché è banalmente continua su $A$ e continua “per successioni” in ogni punto di aderenza.
Al momento non mi viene nulla per dimostrare la non dipendenza; spero che sia il sonno.[/ot]
Bisogna considerare due successioni \(x_n\to x, x'_n\to x\) e vedere che succede alla distanza \(d(f(x_n), f(x'_n))\).
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