Continuità,derivabilità,differenziabilità
Studiare continuità,derivabilità e differenziabilità della seguente funzione:
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
Altra domanda: Continuità e dirivabilità sono due concetti indipendenti per le funzioni a più variabili,quindi una funzione non continua in un dato punto può essere ivi derivabile?
Per quanto riguarda lo studio della derivabilità si può operare ( anche leggendo gli altri topic suppongo nel seguente modo):
$lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a x
$lim_(h -> 0)(f(0,h)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y
E verificare che anche se i limiti non sono uguali esistono.
è giusto il procedimento?come posso fare per verificare la continuità delle derivate parziali?
C'è qualche altro modo per studiare la derivabilità?
Per quanto riguarda la differenziabilità, se una funzione non è continua in un dato punto, allora non è differenziabile in quel punto giusto?
La condizione di differenziabilità prevede che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.Il che riporta a come fare per stabilire se le derivate parziali sono continue in un dato punto.Grazie a tutti per la sopportazione e per le risposte.
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
Altra domanda: Continuità e dirivabilità sono due concetti indipendenti per le funzioni a più variabili,quindi una funzione non continua in un dato punto può essere ivi derivabile?
Per quanto riguarda lo studio della derivabilità si può operare ( anche leggendo gli altri topic suppongo nel seguente modo):
$lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a x
$lim_(h -> 0)(f(0,h)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y
E verificare che anche se i limiti non sono uguali esistono.
è giusto il procedimento?come posso fare per verificare la continuità delle derivate parziali?
C'è qualche altro modo per studiare la derivabilità?
Per quanto riguarda la differenziabilità, se una funzione non è continua in un dato punto, allora non è differenziabile in quel punto giusto?
La condizione di differenziabilità prevede che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.Il che riporta a come fare per stabilire se le derivate parziali sono continue in un dato punto.Grazie a tutti per la sopportazione e per le risposte.
Risposte
Forse ci sono:
$|-((root(4)(x^8/(x^2+y^2)))+(root(4)(y^8/(x^2+y^2))))|<=$$-(x^2+y^2)<$$(x^2+y^2)$ Perciò posto $(delta)=sqrt(epsilon)$ Dovrebbero essere soddisfatte le condizioni di limite. Qualcuno mi conferma?
$|-((root(4)(x^8/(x^2+y^2)))+(root(4)(y^8/(x^2+y^2))))|<=$$-(x^2+y^2)<$$(x^2+y^2)$ Perciò posto $(delta)=sqrt(epsilon)$ Dovrebbero essere soddisfatte le condizioni di limite. Qualcuno mi conferma?
Mi sa che non è proprio così, sotto la radice quarta che maggiorazione hai fatto?
guarda che $(x^2+y^2)^4 != x^8+y^8$
invece se porti il numeratore sotto radice quarta puoi dividerlo con il denominatore, nel senso che sotto radice avrai $(x^2+y^2)^4/((x^2+y^2))$...
invece se porti il numeratore sotto radice quarta puoi dividerlo con il denominatore, nel senso che sotto radice avrai $(x^2+y^2)^4/((x^2+y^2))$...
$root(4)((x^2+y^2)^3)$ dunque mi rimarebbe da maggiorare questo... 
come posso fare?
$delta= epsilon^(3/2) $ ?
giusto...-.-'' che pirla che sono...
ritornando all'esercizio.Per quanto riguarda la derivabilità.Calcolo la derivate parziali rispettto a x e y e vedo dove sono definite.Poi considero un intorno del punto (0,0) effettuando i limiti che ho all inizio del topic postato.Se le derivate parziali sono definite in tutto $RR^2$ e quei limiti esistono,posso affermare che la funzione è derivabile in tutto $RR^2$?
"gedo1991":
Calcolo la derivate parziali rispettto a x e y e vedo dove sono definite.Poi considero un intorno del punto (0,0) effettuando i limiti che ho all inizio del topic postato.Se le derivate parziali sono definite in tutto $RR^2$ e quei limiti esistono,posso affermare che la funzione è derivabile in tutto $RR^2$?
No, se quei limiti esistono e sono finiti hai l'esistenza delle derivate parziali in quel punto, se poi le due funzioni derivate parziali sono continue nel punto e definite su tutto $RR^2$ allora la funzione è differenziabile, e quindi derivabile in ogni direzione, in quel punto.
Per la derivabilità su tutto $RR^2$ ti basta notare che quella funzione è composizione di funzioni differenziabili per ogni punto del dominio esclusa l'origine, quindi hai automaticamente la derivabilità. Per l'origine invece devi procedere manualmente, e ti consiglio di provare ad applicare la definizione, piuttosto che usare il teorema del differenziale totale.
allora devo farti alcune domande...
Se i limiti che faccio per l esistenza delle derivate parziali in quel punto mi vengono una forma indeterminata, posso togliere l'indeterminazione e concludere che esistono?Come faccio a vedere che le derivate parziali sono continue in un punto?I due limiti calcolati dovrebbero dare lo stesso risultato?Se la funzione non fosse stata composta da funzioni differenziabili in ogni punto del dominio come avrei potuto studiarne la derivabilità?...scusa e grazie per la pazienza
Se i limiti che faccio per l esistenza delle derivate parziali in quel punto mi vengono una forma indeterminata, posso togliere l'indeterminazione e concludere che esistono?Come faccio a vedere che le derivate parziali sono continue in un punto?I due limiti calcolati dovrebbero dare lo stesso risultato?Se la funzione non fosse stata composta da funzioni differenziabili in ogni punto del dominio come avrei potuto studiarne la derivabilità?...scusa e grazie per la pazienza
Le forme indeterminate sono fatte per essere aggirate, oltretutto sono limiti di una sola variabile, quindi non dovresti avere troppi problemi.
Le derivate parziali sono funzioni di due variabili, come verifichi la continuità per funzioni di due variabili?
Trovi un motivo per cui le due derivate parziali dovrebbero coincidere? (Può capitare eh, ma se non coincidessero cosa vorrebbe dire secondo te?)
Per l'ultima domanda: attento che ho detto ogni punto del dominio esclusa l'origine. Comunque avresti dovuto individuare i punti in cui si possono presentare problemi e andare a studiarli singolarmente.
In sostanza quell'esercizio presenta difficoltà solo nel verificare derivabilità e differenziabilità in $ul(0)$.
Le derivate parziali sono funzioni di due variabili, come verifichi la continuità per funzioni di due variabili?
Trovi un motivo per cui le due derivate parziali dovrebbero coincidere? (Può capitare eh, ma se non coincidessero cosa vorrebbe dire secondo te?)
Per l'ultima domanda: attento che ho detto ogni punto del dominio esclusa l'origine. Comunque avresti dovuto individuare i punti in cui si possono presentare problemi e andare a studiarli singolarmente.
In sostanza quell'esercizio presenta difficoltà solo nel verificare derivabilità e differenziabilità in $ul(0)$.
quindi per la continuità delle derivate parziali imposto il limite delle due derivate per (x,y) che tende a (0,0)? Se non coincidono non so proprio cosa vorrebbe dire...
Per la continuità delle derivate parziale dovresti fare così, ma ci sono ben altri modi più veloci. Guardati qualche esercizio svolto su..
Se non coincidono non vuol dire proprio un bel niente, semplicemente che sull'asse x hai una crescita diversa rispetto all'asse y della sezione del grafico della funzione.
Se non coincidono non vuol dire proprio un bel niente, semplicemente che sull'asse x hai una crescita diversa rispetto all'asse y della sezione del grafico della funzione.
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