Continuità,derivabilità,differenziabilità
Studiare continuità,derivabilità e differenziabilità della seguente funzione:
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
Altra domanda: Continuità e dirivabilità sono due concetti indipendenti per le funzioni a più variabili,quindi una funzione non continua in un dato punto può essere ivi derivabile?
Per quanto riguarda lo studio della derivabilità si può operare ( anche leggendo gli altri topic suppongo nel seguente modo):
$lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a x
$lim_(h -> 0)(f(0,h)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y
E verificare che anche se i limiti non sono uguali esistono.
è giusto il procedimento?come posso fare per verificare la continuità delle derivate parziali?
C'è qualche altro modo per studiare la derivabilità?
Per quanto riguarda la differenziabilità, se una funzione non è continua in un dato punto, allora non è differenziabile in quel punto giusto?
La condizione di differenziabilità prevede che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.Il che riporta a come fare per stabilire se le derivate parziali sono continue in un dato punto.Grazie a tutti per la sopportazione e per le risposte.
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
Altra domanda: Continuità e dirivabilità sono due concetti indipendenti per le funzioni a più variabili,quindi una funzione non continua in un dato punto può essere ivi derivabile?
Per quanto riguarda lo studio della derivabilità si può operare ( anche leggendo gli altri topic suppongo nel seguente modo):
$lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a x
$lim_(h -> 0)(f(0,h)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y
E verificare che anche se i limiti non sono uguali esistono.
è giusto il procedimento?come posso fare per verificare la continuità delle derivate parziali?
C'è qualche altro modo per studiare la derivabilità?
Per quanto riguarda la differenziabilità, se una funzione non è continua in un dato punto, allora non è differenziabile in quel punto giusto?
La condizione di differenziabilità prevede che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.Il che riporta a come fare per stabilire se le derivate parziali sono continue in un dato punto.Grazie a tutti per la sopportazione e per le risposte.
Risposte
"gedo1991":
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
una volta stabilito qual è il dominio di questa funzione hai già la risposta
"gedo1991":
Per quanto riguarda lo studio della derivabilità si può operare ( anche leggendo gli altri topic suppongo nel seguente modo):
$lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a x
$lim_(h -> 0)(f(0,h)-f(0,0))/h $ per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y
riguardati meglio la definizione di derivata parziale (mi sembra manchi qualche $x$ e $y$...) EDIT: a meno che non studi la derivabilità in $(0,0)$
il dominio della funzione dovrebbe essere $Df=AA(x,y)inRR^2 con x!=0 y!=0$ ma non riesco a capire come possa a rispondere alla mia domanda.La funzione è estesa per continuità al punto(0,0) nella quale non è definita.Dunque dovrebbe essere continua in quel punto a patto ke il limite per (x,y) che tendono a (0,0) sia proprio zero.Per il resto non riesco a capire che cosa ho sbajato nelle derivate parziali essendo il punto (x,y)=(0,0)
se dice che è posta uguale a $0$ in $(0,0)$ allora il dominio dovrebbe essere $RR^2$
se studi la derivabilità in $(0,0)$ allora va bene
se studi la derivabilità in $(0,0)$ allora va bene
e se voglio studiare la derivabilità su tutto $RR^2$ ?
"gedo1991":
Studiare continuità,derivabilità e differenziabilità della seguente funzione:
$f(x,y)=(1-e^(x^2+y^2))/root(4)(x^2+y^2) $ , posta uguale a zero nel punto $(0,0)$.
Per la continuità si dovrebbe (a meno di errori concettuali) calcolare il limite della funzione e vedere se la funzione tende a zero.Ora qui mi nasce un dubbio spontaneo.Principalmente non capisco perchè e in quali casi si studia la continuità con i limiti e in quali altri casi invece non è necessario perchè la funzione in quei punti non è definita.Se è possibile, posso avere un riscontro pratico con questa?
Questa è una domanda sciocca, perchè una funzione che non è definita in un punto come potrebbe essere continua in un punto? (Guardati la definizione)
Nel tuo esercizio l'espressione analitica non ha significato in $ul(0)$, ma la funzione è ben definita e quindi ha senso studiarne la continuità.
"gedo1991":
Altra domanda: Continuità e dirivabilità sono due concetti indipendenti per le funzioni a più variabili,quindi una funzione non continua in un dato punto può essere ivi derivabile?
Considera la funzione: $ { ( 1 if y=x^2 ),( 0 if x!=0 vv y!=0 ),(0):} $
nulla ovunque eccetto che sulla parabola $y=x^2$ privata dell'origine. E' derivabile in ogni direzione con derivata nulla, ma non è continua.
"gedo1991":
Per quanto riguarda la differenziabilità, se una funzione non è continua in un dato punto, allora non è differenziabile in quel punto giusto?
Differenziabilità implica continuità ed esistenza di ogni derivata direzionale..
"gedo1991":
La condizione di differenziabilità prevede che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.
Stai attento, perchè è necessario anche che le derivate parziali esistano almeno in un intorno del punto, leggiti bene cosa dice il teorema del differenziale totale. Secondo me è sempre meglio usare la definizione, molto spesso usando questo teorema negli esercizi si sbaglia..
Partiamo per gradi.Quando tu dici ha senso studiarne la continuità cosa intendi?
Intendo quando è possibile applicare la definizione..
Come fai a considerare $f(p)$ se questo valore non esiste?
Come fai a considerare $f(p)$ se questo valore non esiste?
Non posso considerarlo.Allora nel caso specifico (praticamente) posso affermare (senza svolgere il limite) che quella funzione è continua su tutto $RR^2$$ giusto?
Ma no, cos'hai capito?
Il limite lì lo devi fare, proprio perchè è definita in un quel punto.
Quello che volevo dire io è, se ti avessero dato questa funzione : $f(x,y)= (1- e^(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(1/4)$, allora non avrebbe avuto senso studiarne la continuità in $ul(0)$ perchè tanto non può essere continua una funzione non definita in un punto. Magari ho inteso male la tua domanda..
Il limite lì lo devi fare, proprio perchè è definita in un quel punto.
Quello che volevo dire io è, se ti avessero dato questa funzione : $f(x,y)= (1- e^(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(1/4)$, allora non avrebbe avuto senso studiarne la continuità in $ul(0)$ perchè tanto non può essere continua una funzione non definita in un punto. Magari ho inteso male la tua domanda..
e probabilmente ho io capito male la tua affermazione.Per quanto riguarda la continuità ho capito.Per studiare la derivabilità come mi devo muovere?
io ti consiglierei di proseguire con le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$, tranne che in un intorno dell'origine dove devi usare la definizione scritta da te in un post precedente
e come si potrebbe maggiorare
$(|(1-e^(x^2+y^2))/(root(4)(x^2+y^2))|)$ in modo da dimostrare attraverso la definizione di limire che la funzione è continua nel punto zero...
Ci sto riflettendo da un ora, ma non ci arrivo proprio.
$(|(1-e^(x^2+y^2))/(root(4)(x^2+y^2))|)$ in modo da dimostrare attraverso la definizione di limire che la funzione è continua nel punto zero...
Ci sto riflettendo da un ora, ma non ci arrivo proprio.
nessuno può aiutarmi?
Per $(x,y)->(0,0)$ puoi usare lo sviluppo di Taylor e ottieni:
$1-e^(x^2+y^2) = -x^2 -y^2 + o(x^2+y^2)$. Il resto dovresti saperlo fare.
$1-e^(x^2+y^2) = -x^2 -y^2 + o(x^2+y^2)$. Il resto dovresti saperlo fare.
oppure potresti fare il cambio di variabile $x^2+y^2=\rho^2$ e ricondurti al limite in una variabile
e invece ho usato lo sviluppo di taylor già ma è proprio il resto che non riesco a fare..
probabilmente mi disoriente quel segno meno, itpareid grazie per l ottimo consiglio ma ho il problema di risolverlo con la definizione di limite..
il segno meno potresti raccoglierlo in modo da ottenere $-(x^2+y^2)$
si d accordo, e fin qui ci sn.(guai se non ci fossi arrivato anchio xD).Ma poi come vado avanti? Non voglio ke mi fate l esercizio voglio solo un piccolo aiuto
adesso hai
$-(x^2+y^2)/root(4)(x^2+y^2)$
io proverei a portare tutto sotto radice quarta
$-(x^2+y^2)/root(4)(x^2+y^2)$
io proverei a portare tutto sotto radice quarta
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