Continuità/derivabilità funzioni di due variabili

[andreacavagna22]

Come dimostrare se questa funzione:

$f(x,y)= \{(x^2/y , ", se " y!=0),(0, ", se " y=0):}$

è continua e derivabile?

Io ho pensato di usare la definizione per la continuità e risulta limite per yche tende a 0 di $x^2 / y$ e quindi non esiste e non è continua.
Come posso applicare la definizione per la derivata?
Grazie

[gugo82]

Come la applichi di solito.

[andreacavagna22]

E ma come, non ho un punto singolo, ho infiniti punti.

[gugo82]

Beh, ne fissi uno generico.

[andreacavagna22]

In che senso? Potresti per favore mostrarmelo?

[l'abatefarina]

ma non è che per caso l'esercizio ti ha chiesto di considerare $(0,0)$ ?

[gugo82]

Com’è fatto il generico punto della retta di equazione $y = 0$ (cioè, dell’asse delle ascisse)?
Che coordinate ha?


@ l’abatefarina: No, il testo è corretto.

[andreacavagna22]

Quindi considero il punto (alfa,0)?

[gugo82]

Già.
E fai il conto normalmente.

[andreacavagna22]

Ok grazie mille

[andreacavagna22]

Tornando sull’argomento, come è possibile che la funzione sia derivabile in y=0?

[gugo82]

Tornando sulla mia risposta precedente: basta fare i calcoli.

[andreacavagna22]

Ma a me risultano entrami infiniti:
Se faccio limite per h che tende a 0 di $((alpha +h)/0)/h$ risulta che il limite non esiste.
Perché 0?

[andreacavagna22]

E il secondo sarebbe $(alpha)^2/h^2 $ ed è +infinito.

[gugo82]

Anzitutto, dire "la funzione è derivabile in $y=0$" non ha alcun senso perché $y=0$ non è né un punto né un insieme con interno non vuoto.
Inoltre, "derivabile" rispetto a quale variabile? Una sola? Entrambe?
Quindi, nuovamente, "dici bene".

Poi, vuoi sapere se, fissato $alpha in RR$, la tua funzione è derivabile in $(alpha, 0)$?
Vai a calcolare i rapporti incrementali.

Hai:

$(f(alpha + h, 0) - f(alpha ,0))/h = 0\ =>\ lim_(h -> 0) (f(alpha + h, 0) - f(alpha ,0))/h = lim_(h -> 0) 0 =0$

ed:

$(f(alpha, k) - f(alpha ,0))/k = \{ (alpha^2/k^2, ", se " alpha !=0), (0,", se " alpha =0):} \ =>\ lim_(k -> 0) (f(alpha, k) - f(alpha ,0))/k \ \{("non esiste" , ", se " alpha!=0), (= 0, ", se " alpha =0):}$

quindi:

[*:2xei62qk] $f$ è derivabile rispetto ad $x$ in tutti i punti $(alpha,0)$ ed hai:

$AA alpha in RR,\ f_x(alpha, 0)=0$;

[/*:m:2xei62qk]
[*:2xei62qk] $f$ è derivabile rispetto ad $y$ solo in $(0,0)$ ed ha:

$f_y(0,0)=0$.[/*:m:2xei62qk][/list:u:2xei62qk]

Cosa c'era di tanto misterioso in questi calcoletti da non riuscire a farli in autonomia?
Dopotutto, non c'è nemmeno da scomodare Analisi I, la matematica delle superiori bastava ed avanzava... Non c'è nulla di non elementare nei conti che ho fatto.

[andreacavagna22]

Ma io non capisco perché il primo limite faccia 0,
Se ho $(alpha+h)/0$ perché non fa infinito?

[gugo82]

"AndretopC0707":Se ho $(alpha+h)/0$ [...]

No, non hai.

[andreacavagna22]

In che senso?
La funzione è x^2/y se y è 0 ho 0 al denominatore

[gugo82]

Certo, come se fosse possibile "avere $0$ al denominatore"...

Ma hai letto bene il testo?

[andreacavagna22]

Io ho x^2/y

[andreacavagna22]

Se y=0 ho zero al denominatore per forza