Continuità,Derivabilità e Immagine di una funzione

[rdd95]

Ciao ragazzi, mi aiutate a capire come si procedere per stabilire se questa funzione è continua e derivabile?


$f(x)=$ $\{ (3|x|)/(2+ln(x)) , se$ $ x \ne 0 $
$f(x)=$${0, se$ $x=0 $

(ovviamente la parentesi graffa è soltanto una,cosi come la funzione)

Per quanto riguarda la continuità, mi sono calcolato il limite

$lim_(x->0) ((3|x|)/(2+lnx)) $ $= 0=f(0)$

Quindi f(x) è continua nel punto $x=0$ , giusto?

Per la derivabilità invece calcolo il limite per $x->0$ della derivata di f(x)

$lim_(x->0) ((3x)/|x| * (2+lnx)-3|x|*1/x) / (2+lnx)^2 $

Però non so come continuare questo limite..qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo!

[quantunquemente]

prima di tutto,l'argomento del logaritmo dovrebbe avere il valore assoluto
poi,è più opportuno applicare la definizione
$ lim_(h -> 0) (f(0+h)-f(0))/h $

[rdd95]

Innanzitutto grazie per aver risposto!
Comunque, mi confermi quindi che il procedimento per la continuità è giusto?
Detto cio,perchè l'argomento del logaritmo deve essere in valore assoluto?
E poi perchè è meglio fare il limite del rapporto incrementale? Scusa le domande che magari potrebbero sembrare stupide!
Grazie!

[quantunquemente]

1) continuità è giusto
2) si può fare solo il logaritmo dei numeri positivi
3) anche se mi sembra che per la tua funzione si possa dire che $ lim_(x -> 0) f'(x)=f'(0) $ ,in generale non sempre è vero
quindi,a scanso di equivoci, è meglio applicare la definizione

[rdd95]

Quindi devo metterlo in valore assoluto perchè quando faccio il limite per $ x-> 0$ sto considerando anche un intorno negativo?Cioè x che tende dalla parte sinistra di 0?

3) Quindi faccio il limite

$lim_(h->0) (3|h|)/( 2+log(|h|)) * 1/h $ ?