Continuità,derivabilità e differenziabilità
Studiare continuità , derivabilità e differenziabilità nel punto (0,0) della funzione:
$f(x,y)={(frac{1-cos(xy)}{x^4 + y^4}, if (x,y)!=0),(0, if (x,y)=0):} $
Per studiare la continuità in (0,0) moltiplico e divido per la quantità:
$(1 + cos(xy))* (xy)^2$
Dunque il limite diviene:
$lim_(x,y->0,0) frac{sen^2(xy)}{(xy)^2} * frac{x^2*y^2}{x^4 + y^4}* frac{1}{1+cos(xy)}$
Il primo membro fa $1$, il terzo $1/2$...ora studiamo il secondo in cordinate polari:
$lim_(rho->0) frac{rho^4 * cos^2theta * sen^2theta}{rho^4 * (cos^4theta + sen^4theta)}$
e questo limite non esiste.
Dunque il limite complessivo non esiste e ne segue che la funzione non è continua in $(0,0)$
Facendo il limite del rapporto incrementale però, le derivate prime sono continue e da ciò segue che la funzione è differenziabile e dunque continua. Ma ciò è in contrapposizione a quello che abbiamo detto prima, e dunque è continua o no?
$f(x,y)={(frac{1-cos(xy)}{x^4 + y^4}, if (x,y)!=0),(0, if (x,y)=0):} $
Per studiare la continuità in (0,0) moltiplico e divido per la quantità:
$(1 + cos(xy))* (xy)^2$
Dunque il limite diviene:
$lim_(x,y->0,0) frac{sen^2(xy)}{(xy)^2} * frac{x^2*y^2}{x^4 + y^4}* frac{1}{1+cos(xy)}$
Il primo membro fa $1$, il terzo $1/2$...ora studiamo il secondo in cordinate polari:
$lim_(rho->0) frac{rho^4 * cos^2theta * sen^2theta}{rho^4 * (cos^4theta + sen^4theta)}$
e questo limite non esiste.
Dunque il limite complessivo non esiste e ne segue che la funzione non è continua in $(0,0)$
Facendo il limite del rapporto incrementale però, le derivate prime sono continue e da ciò segue che la funzione è differenziabile e dunque continua. Ma ciò è in contrapposizione a quello che abbiamo detto prima, e dunque è continua o no?
Risposte
"qwerty90":
Facendo il limite del rapporto incrementale però, le derivate prime sono continue e da ciò segue che la funzione è differenziabile e dunque continua. Ma ciò è in contrapposizione a quello che abbiamo detto prima, e dunque è continua o no?
Mi viene il sospetto che, facendo il limite del rapporto incrementale, tu abbia calcolato le derivate parziali solo nell'origine; se così è, come hai fatto a stabilire che sono continue? (Dovresti calcolarle almeno in un intorno dell'origine per stabilire se sono continue nell'origine.)
Ciao.
A me non pare che la funzione sia differenziabile nell'origine. Io ho calcolato il gradiente di $f$ in $(0,0)$ con la definizione (limite dei rapporti incrementali) e ho trovato facilmente $nablaf(0,0)=(0,0)$.
A questo punto, per vedere se è differenziabile in $(0,0)$ ho usato la definizione: bisogna vedere quanto viene il limite
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Se tale limite esiste ed è nullo allora la funzione è differenziabile in $(0,0)$; altrimenti, non è differenziabile.
In questo caso, siamo fortunati perchè possiamo buttare via un sacco di roba; resta da vedere quanto vale
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{1-\cos(hk)}{(h^4+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Ricordando il comportamento di $1-cos(x)$ in un intorno dell'origine, il limite precedente può riscriversi
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{(hk)^2}{2(h^4+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
che si guarda bene dall'esistere nullo. Se non ho sbagliato i conti, infatti, lungo una generica retta della famiglia $k=mh$ il limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h^4m^2}{2h^4(1+m^4)|h|\sqrt{1+m^2}}=+\infty[/tex]
Spero di non aver detto scemenze e di averti aiutato.
P.S. Scusa Rigel, non avevo visto.
A me non pare che la funzione sia differenziabile nell'origine. Io ho calcolato il gradiente di $f$ in $(0,0)$ con la definizione (limite dei rapporti incrementali) e ho trovato facilmente $nablaf(0,0)=(0,0)$.
A questo punto, per vedere se è differenziabile in $(0,0)$ ho usato la definizione: bisogna vedere quanto viene il limite
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Se tale limite esiste ed è nullo allora la funzione è differenziabile in $(0,0)$; altrimenti, non è differenziabile.
In questo caso, siamo fortunati perchè possiamo buttare via un sacco di roba; resta da vedere quanto vale
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{1-\cos(hk)}{(h^4+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Ricordando il comportamento di $1-cos(x)$ in un intorno dell'origine, il limite precedente può riscriversi
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{(hk)^2}{2(h^4+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
che si guarda bene dall'esistere nullo. Se non ho sbagliato i conti, infatti, lungo una generica retta della famiglia $k=mh$ il limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h^4m^2}{2h^4(1+m^4)|h|\sqrt{1+m^2}}=+\infty[/tex]
Spero di non aver detto scemenze e di averti aiutato.
P.S. Scusa Rigel, non avevo visto.
Ok vi ringrazio. Un'altra domanda su questa funzione.
Al posto di verificare la differenziabilità in $(0,0)$ questo modo:
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Posso calcolarmi le derivate parziali prime e poi fare il limite per $(x,y) -> (0,0)$ in modo da verificare la loro continuità; in caso contrario per un noto teorema la funzione non è differenziabile. Sbaglio?
Al posto di verificare la differenziabilità in $(0,0)$ questo modo:
[tex]\displaystyle \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Posso calcolarmi le derivate parziali prime e poi fare il limite per $(x,y) -> (0,0)$ in modo da verificare la loro continuità; in caso contrario per un noto teorema la funzione non è differenziabile. Sbaglio?
Sì, sbagli; la continuità delle derivate parziali nel punto è solo una condizione sufficiente per la differenziabilità.
Anche solo in dimensione $n=1$, considera la funzione
$f(x) = x^2 \sin (1/x)$ per $x\ne 0$, $f(0) = 0$.
Essa è derivabile (quindi differenziabile) su tutto $\mathbb{R}$, ma la sua derivata prima non è continua in $x=0$.
Anche solo in dimensione $n=1$, considera la funzione
$f(x) = x^2 \sin (1/x)$ per $x\ne 0$, $f(0) = 0$.
Essa è derivabile (quindi differenziabile) su tutto $\mathbb{R}$, ma la sua derivata prima non è continua in $x=0$.
"Rigel":
Sì, sbagli; la continuità delle derivate parziali nel punto è solo una condizione sufficiente per la differenziabilità.
Anche solo in dimensione $n=1$, considera la funzione
$f(x) = x^2 \sin (1/x)$ per $x\ne 0$, $f(0) = 0$.
Essa è derivabile (quindi differenziabile) su tutto $\mathbb{R}$, ma la sua derivata prima non è continua in $x=0$.
Ok dunque, calcolandomi le derivate parziali e facendo il limite per $(x,y)->(0,0)$, se non vengono continue non posso dire che la funzione non è differenziabile perchè è condizione sufficiente.
Esatto.
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