Continuità/derivabilità di una funzione
Salve a tutti,
ho enormi problemi con esercizi del tipo "dire se e dove la funzione è continua/derivabile"...so perfettamente la teoria ma non mi aiuta molto...
il succo è: una volta che ho una funzione e ne conosco il dominio e il grafico, come faccio a capire dove è continua e dove derivabile?
in questo sto studiando $ f(x)= |logx-2| $ se $ x>=1 $, $ 2-x $ se $ x<1 $
la funzione mi sembra abbia dominio su tutto R...ma dove è continua? dove derivabile?
dal grafico noto che in $ x=1 $ c'è un salto, in $ x=e^2 $ c'è un punto (angoloso?)...
ho dedotto che:
- f(x) è continua su tutto R tranne $ x=1 $ (punto discontinuità 1° specie)
- f(x) è derivabile su tutto R tranne $ x=1 $ (dove non è continua) e $ x=e^2 $ ma non ne sono sicuro...non so se sia un punto angoloso o meno
qualcuno mi può aiutare?
ho enormi problemi con esercizi del tipo "dire se e dove la funzione è continua/derivabile"...so perfettamente la teoria ma non mi aiuta molto...
il succo è: una volta che ho una funzione e ne conosco il dominio e il grafico, come faccio a capire dove è continua e dove derivabile?
in questo sto studiando $ f(x)= |logx-2| $ se $ x>=1 $, $ 2-x $ se $ x<1 $
la funzione mi sembra abbia dominio su tutto R...ma dove è continua? dove derivabile?
dal grafico noto che in $ x=1 $ c'è un salto, in $ x=e^2 $ c'è un punto (angoloso?)...
ho dedotto che:
- f(x) è continua su tutto R tranne $ x=1 $ (punto discontinuità 1° specie)
- f(x) è derivabile su tutto R tranne $ x=1 $ (dove non è continua) e $ x=e^2 $ ma non ne sono sicuro...non so se sia un punto angoloso o meno
qualcuno mi può aiutare?
Risposte
con la continuità ci siamo, per valutare analiticamente la derivabilità devi provare a calcolare le derivate destra e sinistra e vedere se coincidono o meno: in questo caso vengono con segno opposto quindi c'è effettivamente un punto angoloso in cui la funzione non risulta derivabile
mmm il problema è che non riesco a vedere che vengono di segno opposto...
la derivata prima non è $ 1/x $ ? impostando il limite per $ x->e^2 $ da sinistra e destra non mi tornano i conti, o meglio non trovo segni opposti
più in generale:
- per la continuità devo guardare il dominio della funzione meno eventuali punti discontinuità (solitamente ben visibili dal grafico, punti dove si è costretti a staccare la matita dal foglio seguendo f(x) )
- per la derivabilità parto dalla continuità di f(x) e sottraggo al massimo eventuali punti di non derivabilità (e sul grafico li posso notare come punti particolari come cuspidi, flessi e punti angolosi)
può andare come linea generale?
la derivata prima non è $ 1/x $ ? impostando il limite per $ x->e^2 $ da sinistra e destra non mi tornano i conti, o meglio non trovo segni opposti
più in generale:
- per la continuità devo guardare il dominio della funzione meno eventuali punti discontinuità (solitamente ben visibili dal grafico, punti dove si è costretti a staccare la matita dal foglio seguendo f(x) )
- per la derivabilità parto dalla continuità di f(x) e sottraggo al massimo eventuali punti di non derivabilità (e sul grafico li posso notare come punti particolari come cuspidi, flessi e punti angolosi)
può andare come linea generale?
Guarda che per derivare quel logaritmo devi usare la ricetta per la funzioni composte, eh.
\[|\log{x} -2| \mapsto \frac{1}{x} \text{sgn}{(\log{x} -2)}\] E' la funzione signum che `improvvisamente` ribalta la pendenza.
Puo' essere computazionalmente imbarazzante a volte (altre volte invece e' la strada piu' veloce). Tra l'altro questo verificherebbe che la derivata e' continua - condizione non necessaria per la derivabilita'. E' invece sufficiente scrivere il rapporto incrementale e portarlo al limite.
Comunque e' da sapersi che il modulo di qualcosa butta fuori punti angolosi - appena lo vedi, va' in allerta.
Boh, si... Ma di che problema stiamo parlando? Non capisco la tua domanda.
\[|\log{x} -2| \mapsto \frac{1}{x} \text{sgn}{(\log{x} -2)}\] E' la funzione signum che `improvvisamente` ribalta la pendenza.
"walter89":
per valutare analiticamente la derivabilità devi provare a calcolare le derivate destra e sinistra e vedere se coincidono o meno
Puo' essere computazionalmente imbarazzante a volte (altre volte invece e' la strada piu' veloce). Tra l'altro questo verificherebbe che la derivata e' continua - condizione non necessaria per la derivabilita'. E' invece sufficiente scrivere il rapporto incrementale e portarlo al limite.
Comunque e' da sapersi che il modulo di qualcosa butta fuori punti angolosi - appena lo vedi, va' in allerta.
- per la continuità devo guardare il dominio della funzione meno eventuali punti discontinuità (solitamente ben visibili dal grafico, punti dove si è costretti a staccare la matita dal foglio seguendo f(x) )
- per la derivabilità parto dalla continuità di f(x) e sottraggo al massimo eventuali punti di non derivabilità (e sul grafico li posso notare come punti particolari come cuspidi, flessi e punti angolosi)
Boh, si... Ma di che problema stiamo parlando? Non capisco la tua domanda.
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