Continuità uniforme
guardando la definizione sono rimasto inizialmente perplesso perchè mi sembrava uguale a quella di continuità. ora mi pare di aver delineato la differenza, però vorrei essere sicuro, pertanto chiedo conferma del mio ragionamento.
parto confrontando le definizioni:
1) sia [tex]f: X \to R[/tex]. f è uniformemente continua se [tex]\forall \epsilon > 0 \, \exists \, \delta > 0[/tex] tale che [tex]|f(x) - f(y)| < \epsilon \, \forall x,y \in X[/tex] tali per cui [tex]|x - y| < \delta[/tex]
2) sia [tex]f: X \to R[/tex]. f si dice continua in X se è continua in ogni [tex]x_0 \in X[/tex], ovvero se per ogni [tex]x_0[/tex] valgono le seguenti:
a.[tex]x_0[/tex] è un punto isolato per X
b. [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)[/tex]
essendo il punto a di poco interesse, prenderò in considerazione solo il b.
dalla definizione di limite ricavo che, per la continuità "semplice", [tex]\forall \epsilon > 0 \, e \, \forall x_0 \in X, \, \exists \, \delta > 0 \mid |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \, se \, |x - x_0| < \delta[/tex]
in questo caso delta dipende anche da x0, mentre nel caso di continuità uniforme no. mi stavo chiedendo se posso interpretare ciò nel seguente modo, considerando anche l'esempio della funzione f(x) = x^2: il fatto che delta dipenda pure da x0 fa in modo che la stessa delta sia "variabile", per cui qualunque sia la scelta che faccio di x0 (stiamo parlando di funzioni continue), riesco sempre a soddisfare la disuguaglianza $ |f(x) - f(y)| < epsilon $. cosa che invece non riesco a fare sempre nel caso di continuità uniforme, perchè non posso esprimere d in funzione di x0 ma solo "fissarla" arbitrariamente: se f = x^2 si può vedere che, preso x0 "abbastanza grande" (esprimendolo in funzione di d) la continuità uniforme non è soddisfatta.
purtroppo ho qualche difficoltà ad esprimere meglio la domanda, spero di essere stato comprensibile.. ringrazio per eventuali delucidazioni/conferme.
parto confrontando le definizioni:
1) sia [tex]f: X \to R[/tex]. f è uniformemente continua se [tex]\forall \epsilon > 0 \, \exists \, \delta > 0[/tex] tale che [tex]|f(x) - f(y)| < \epsilon \, \forall x,y \in X[/tex] tali per cui [tex]|x - y| < \delta[/tex]
2) sia [tex]f: X \to R[/tex]. f si dice continua in X se è continua in ogni [tex]x_0 \in X[/tex], ovvero se per ogni [tex]x_0[/tex] valgono le seguenti:
a.[tex]x_0[/tex] è un punto isolato per X
b. [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)[/tex]
essendo il punto a di poco interesse, prenderò in considerazione solo il b.
dalla definizione di limite ricavo che, per la continuità "semplice", [tex]\forall \epsilon > 0 \, e \, \forall x_0 \in X, \, \exists \, \delta > 0 \mid |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \, se \, |x - x_0| < \delta[/tex]
in questo caso delta dipende anche da x0, mentre nel caso di continuità uniforme no. mi stavo chiedendo se posso interpretare ciò nel seguente modo, considerando anche l'esempio della funzione f(x) = x^2: il fatto che delta dipenda pure da x0 fa in modo che la stessa delta sia "variabile", per cui qualunque sia la scelta che faccio di x0 (stiamo parlando di funzioni continue), riesco sempre a soddisfare la disuguaglianza $ |f(x) - f(y)| < epsilon $. cosa che invece non riesco a fare sempre nel caso di continuità uniforme, perchè non posso esprimere d in funzione di x0 ma solo "fissarla" arbitrariamente: se f = x^2 si può vedere che, preso x0 "abbastanza grande" (esprimendolo in funzione di d) la continuità uniforme non è soddisfatta.
purtroppo ho qualche difficoltà ad esprimere meglio la domanda, spero di essere stato comprensibile.. ringrazio per eventuali delucidazioni/conferme.
Risposte
Mi pare che tu abbia capito il succo del discorso. Ti lascio un link molto simpatico:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
complimenti all'autore della dispensa, ora è decisamente più chiaro.
un'ultima domanda (spero): perchè le funzioni con derivata prima "infinita" (in un certo intervallo I) non sono necessariamente non uniformemente continue in I? così ad occhio direi il contrario, anche in base a quanto ho visto nel grafico del "rocchetto": praticamente se una funzione (de)cresce troppo rapidamente in un intervallo, è impossibile determinare lo spessore delta, dato il diametro epsilon. però ho visto che per il t di heine cantor (che non abbiamo visto in classe) la funzione $ f(x) = sqrt x $ risulta sorprendentemente essere unif continua in [0,1].. si possono fare altre considerazioni o per forza si passa per quel teorema, che sinceramente vorrei evitare di studiare? forse la chiave di volta sta nel fatto che la derivata è "infinita" in un "intorno troppo piccolo" di 0 anzichè per un intervallo più esteso?
un'ultima domanda (spero): perchè le funzioni con derivata prima "infinita" (in un certo intervallo I) non sono necessariamente non uniformemente continue in I? così ad occhio direi il contrario, anche in base a quanto ho visto nel grafico del "rocchetto": praticamente se una funzione (de)cresce troppo rapidamente in un intervallo, è impossibile determinare lo spessore delta, dato il diametro epsilon. però ho visto che per il t di heine cantor (che non abbiamo visto in classe) la funzione $ f(x) = sqrt x $ risulta sorprendentemente essere unif continua in [0,1].. si possono fare altre considerazioni o per forza si passa per quel teorema, che sinceramente vorrei evitare di studiare? forse la chiave di volta sta nel fatto che la derivata è "infinita" in un "intorno troppo piccolo" di 0 anzichè per un intervallo più esteso?
"enr87":
però ho visto che per il t di heine cantor (che non abbiamo visto in classe) la funzione $ f(x) = sqrt x $ risulta sorprendentemente essere unif continua in [0,1].. si possono fare altre considerazioni o per forza si passa per quel teorema, che sinceramente vorrei evitare di studiare?
Il teorema di Heine - cantor è facile facile...Basta considerare una funzione continua in un insieme compatto(chiuso e limitato) e automaticamente è uniformemente continua.
Secondo me è utile studiarlo poichè è semplice (pure la dimostrazione) e ti "risolve" tutte le funzioni continue in compatti.
La derivata prima non limitata ti dice che la funzione non è Lipschitziana, cioè che i rapporti incrementali non sono limitati. Ma non è detto che non sia uniformemente continua, come nota qwerty (nel caso in questione la funzione è $1/2$ Hölderiana, come spiegato su www.batmath.it ). Anzi, questo è un ottimo esempio da tenere a mente nel caso qualcuno ti chieda: le funzioni uniformemente continue sono sempre Lipschitziane? No: $sqrt(x)$ è uniformemente continua in $[0, 1]$ (per la verità anche in tutto $[0, +\infty)$ ma è più difficilotto da dimostrare) e però non è Lipschitziana.
per la verità ad analisi 2 ci hanno fatto solo le funzioni lipschitziane senza accennare a quelle uniformemente continue, per cui mi sono studiato da solo queste ultime (pareva ingiusto non farle).
già che ci sono allora mi guardo pure la dimostrazione di h-c.
vi ringrazio.
già che ci sono allora mi guardo pure la dimostrazione di h-c.
vi ringrazio.
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