Continuità uniforme

[gygabyte017]

Un esecizio dice: determinare gli intervalli in cul la funzione $f(x)=arctg(lnx))$ è uniformemente continua.
Ora, sapendo la definizione che una funzione è uniformamente continua in $I <=> AAepsilon>0 EEdelta>0 : |x-y| |f(x) - f(y)|
Grazie

[Megan00b]

Io userei il teorema di Heine Cantor:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Heine-Cantor.

[gygabyte017]

Ok. Quindi: se la funzione è è continua in $(a,b)$, e esistono e sono finiti i limiti in $a^+$ e $b^-$, allora la funzione è u.c. in $[a,b]$? Oppure in $(a,b)$?

Grazie

E invece per la Lipschitzianità? Basta dire che $|f'(x)| <= L$ cioè che la derivata è limitata?

[Megan00b]

[a,b] è compatto e il th. Heine-Cantor dice proprio che una funzione continua su un compatto è ivi uniformemente continua. Nota: Attenzione allo 0.
Per la seconda va bene.

[gygabyte017]

C'è ancora qualcosa che non mi è chiaro...

Prendiamo la funzione $f(x)=lnx$.

Studiamo l'uniforme continuità.
La funzione è continua in $(0,+oo)$. Vediamo che succede negli estremi:
$lim_(x->0^+)lnx=-oo$
$lim_(x->+oo)lnx=+oo$
Quindi la funzione è uniformemente continua in ogni intervallo $[a,b] " " : 0
Studiamo ora la lipschitzianità.
$f'(x)=1/x$
$|1/x|<=L " " => " " 1/x<=L$ poiche la $f(x)$ ha il dominio in $RR^+$
Ma $1/x$ è sempre limitata in $[a,+oo) " " : 0come si dimostra????).
Allora la funzione è lipschitziana in $[a,+oo)$. Ma allora è anche uniformemente continua in $[a,+oo)$ che contraddice il risultato ottenuto prima!

Cos'è sbagliato??? Grazie 1000!!

[Fioravante Patrone1]

"gygabyte017":Ma $1/x$ è sempre limitata in $[a,+oo) " " : 0come si dimostra????).

facile, e' decrescente su quell'intervallo...

"gygabyte017":Allora la funzione è lipschitziana in $[a,+oo)$. Ma allora è anche uniformemente continua in $[a,+oo)$ che contraddice il risultato ottenuto prima!

no, non contraddice. Quelle riportate da Megan00b sono condizioni sufficienti. Tutto qui.



Non e' che ti fai spaventare troppo dalla uniforme continuita'? Si doma, come tutti i puledri.