Continuità troppo semplice da verificare (dubbio).

[giuscri]

$f(x)$ è definita come:

$(ax+b)$ per $x >= 1$,

$(cos(5logx)-1)/(x^(1/7) - 1)$ per $x<1$.

Per quali valori di a e di b ho continuità e derivabilità in tutto $\mathbb{R}$?

Continuità: trattandosi di funzioni composte di funzioni elementari, la continuità mi è garantita su tutto $\mathbb{R} - {1}$. Perché la funzione sia continua anche in ${1}$, il limite della funzione per $1-$ deve essere uguale al limite della funzione per $1+$, che deve essere uguale al valore della funzione in $x=1$. Quindi che, per $x->1-$

$(cos(5logx)-1)/(x^(1/7) - 1) = a+b$.

Ho pensato di usare una variabile t, definita come $t=x-1$, e riscrivendo l'uguaglianza quì sopra si ha:

$(cos(5log(1+t))-1)/((t+1)^(1/7) - 1) = a+b$.

Ora, usando gli sviluppi di Maclaurin posso riscrivere:

$(cos(5t)-1)/(1/7(t))$.

Sviluppando il coseno ho:

$(25/2(t^2))/((1/7)t)$.

Per $t->0$, il limite è 0. Cioé per $x->1$, ho continuità se e solo se $a+b=0$, cioé se $a=-b$.

Derivabilità:
riprendo lo sviluppo appena calcolato, e lo pongo uguale al limite della derivata per $x->1$, cioé ad $a$. Quindi $a=0$.

Posso concludere che la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}$, quando $a=b=0$?
Ovviamente no, ma non riesco a vedere perché.

Grazie per l'aiuto.

[Quinzio]

Come hai fatto la derivata dell sviluppo ???
Non è che l'hai fatta alla "de l'Hopital" ? E' una frazione.

[giuscri]

Cavoli, no! Ecco un errore. Ho sbagliato. Invece di porre il limite della derivata uguale ad $a$, ho posto direttamente lo sviluppo uguale ad a. Svista.

Avrei potuto dire, secondo te, che il valore della derivata in $x=1$ è $(25*7)/2$, perché coefficiente di $t (=x-1)$? Ripensando al polinomio di Taylor, intendo.

Ma per il resto, come ti sembra la parte sulla continuità?