Continuità inversa(spazi metrici)
Siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ due spazi metrici $KsubseteqX,HsubseteqY$ sottoinsiemi di $X,Y$ e $f:K->H$ una funzione invertibile.
L'ipotesi di invertibilità l'ho assunta per snellire la dimostrazione ed evitare di renderla invertibile.
userò il fatto che $f^(-1)$ continua in $y inH$ sse $forall{y_n}_(n inNN)subseteqH:y_n->y => f^(-1)(y_n)->f^(-1)(y)$
$1$ intanto $f^(-1):H->K$ è definita come quella funzione che associa $y|-> f^(leftarrow)(y)$ nonché la fibra di un elemento del condominio, che sarà unica per invertibilità
$2$ il fatto che $f$ sia continua su un compatto ci garantisce che $f(K)=H$ sia un compatto(che non si servirà)
$3$ sia $y inH$ consideriamo una successione ${y_n}_(n inNN)subseteqH:y_n->y$ e dividiamo in step il da farsi
$-$ $forall n inNN(y_n inHexists! x_n inK:f(x_n)=y_n)$
quindi abbiamo creato una seconda successione che mi manda ${x_n}_(n inNN) |-> {y_n}_(n inNN)$
$-$ poichè $y_n -> y$ allora $f(x_n) -> y$
$-$ $K$ è compatto quindi possiamo estrarre $x_(n_j)->x inH$ e per continuità $f(x_(n_j))->f(x)$
$-$ poichè $y_(n_j)=f(x_(n_j))$ è una sottosuccessione di $y_n=f(x_n)$ allora devono avere lo stesso limite e quindi si avrà $f(x)=y$ ovvero $x=f^(-1)(y)$
un hint per concludere? solo un hint.
EDIT
ho continuato mostrando che tutte le sottosuccessioni convergenti, convergono allo stesso limite.
Di fatto se esistessero $x_(n_j),x_(n_k)$ sottosuccessioni di $x_n$ tali che $x_(n_j)->x_1$ e $x_(n_k)->x_2$ si avrebbe che per continuità di $f$
Ora poichè entrambe sono sottosuccessioni di una successione convergente $f(x_n)$ deve essere $f(x_1)=f(x_2)$ e per iniettività deve essere $x_1=x_2$ pertanto tutte le sottosuccessioni di $x_n$, che convergono, convergono allo stesso limite
Ora se $x_n$ non convergesse a $x$ avremmo due casi
$x_n->z$ allora $z=x$ poiché se converge, il suo limite deve coincidere con quello di una sua qualsiasi sottosuccessione
$x_n$ non converge, allora esistono almeno due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi(assurdo)
Pertanto $x_n$ deve convergere e si avrà $f^(-1)(y_n)->f^(-1)(y)$
Se $f$ è continua e $K$ è compatto allora $f^(-1)$ è continua
L'ipotesi di invertibilità l'ho assunta per snellire la dimostrazione ed evitare di renderla invertibile.
userò il fatto che $f^(-1)$ continua in $y inH$ sse $forall{y_n}_(n inNN)subseteqH:y_n->y => f^(-1)(y_n)->f^(-1)(y)$
$1$ intanto $f^(-1):H->K$ è definita come quella funzione che associa $y|-> f^(leftarrow)(y)$ nonché la fibra di un elemento del condominio, che sarà unica per invertibilità
$2$ il fatto che $f$ sia continua su un compatto ci garantisce che $f(K)=H$ sia un compatto(che non si servirà)
$3$ sia $y inH$ consideriamo una successione ${y_n}_(n inNN)subseteqH:y_n->y$ e dividiamo in step il da farsi
$-$ $forall n inNN(y_n inHexists! x_n inK:f(x_n)=y_n)$
quindi abbiamo creato una seconda successione che mi manda ${x_n}_(n inNN) |-> {y_n}_(n inNN)$
$-$ poichè $y_n -> y$ allora $f(x_n) -> y$
$-$ $K$ è compatto quindi possiamo estrarre $x_(n_j)->x inH$ e per continuità $f(x_(n_j))->f(x)$
$-$ poichè $y_(n_j)=f(x_(n_j))$ è una sottosuccessione di $y_n=f(x_n)$ allora devono avere lo stesso limite e quindi si avrà $f(x)=y$ ovvero $x=f^(-1)(y)$
$lim_(j->+infty)f^(-1)(y_(n_j))=lim_(j->+infty) x_(n_j)=f^(-1)(y)$
un hint per concludere? solo un hint.
EDIT
ho continuato mostrando che tutte le sottosuccessioni convergenti, convergono allo stesso limite.
Di fatto se esistessero $x_(n_j),x_(n_k)$ sottosuccessioni di $x_n$ tali che $x_(n_j)->x_1$ e $x_(n_k)->x_2$ si avrebbe che per continuità di $f$
$f(x_(n_j))->f(x_1)$ e $f(x_(n_k))->f(x_2)$
Ora poichè entrambe sono sottosuccessioni di una successione convergente $f(x_n)$ deve essere $f(x_1)=f(x_2)$ e per iniettività deve essere $x_1=x_2$ pertanto tutte le sottosuccessioni di $x_n$, che convergono, convergono allo stesso limite
Ora se $x_n$ non convergesse a $x$ avremmo due casi
$x_n->z$ allora $z=x$ poiché se converge, il suo limite deve coincidere con quello di una sua qualsiasi sottosuccessione
$x_n$ non converge, allora esistono almeno due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi(assurdo)
Pertanto $x_n$ deve convergere e si avrà $f^(-1)(y_n)->f^(-1)(y)$
Risposte
Se hai una successione convergente, una sua sottosuccessione che fa?
Ciao otta ho inviato l’edit proprio un istante dopo che hai risposto.
Cosa ne pensi?
Cosa ne pensi?
Ora sono in treno e non leggo nemmeno tanto bene le formule dal cellulare, ma mi sembra una dimostrazione come minimo molto confusa, per esempio, che c'entra $f$? In quello che stai cercando di dimostrare niente.
Nella migliore delle ipotesi la tua dimostrazione è molto brutta, ti garantisco che è una cosa molto più semplice.
Nella migliore delle ipotesi la tua dimostrazione è molto brutta, ti garantisco che è una cosa molto più semplice.
Si ne sono consapevole, non è il massimo.
$f$ la uso per sfruttarne la continuità dato che $f(x)=y <=> x=f^(-1)(y)$ essendo biunivoca.
Altrimenti da cosa potrei partire?
$f$ la uso per sfruttarne la continuità dato che $f(x)=y <=> x=f^(-1)(y)$ essendo biunivoca.
Altrimenti da cosa potrei partire?
Questo problema può essere visto anche in maniera generalizzata con $X$ spazio topologico compatto e $Y$ spazio topologico di hausdorff, la dimostrazione classica è questa:
(i) L'applicazione $f$ è chiusa, infatti sia $C subset K$ , allora $C$ è anche compatto dato che è un chiuso dentro un compatto. Dato che $f$ è continua, allora $F(C)$ è anch'esso un compatto. Ed è noto che ogni compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso, quindi $F(C)$ è chiuso.
(ii) Una applicazione continua e biunivoca chiusa (o anche aperta)è un omeomorfismo, cioè anche l'inversa è continua.
Poi non capisco perchè consideri i sottoinsieme $K$,$H$ piuttosto che $X$,$Y$ stessi. Alla fine $K$ e $H$ sono spazi metrici con la topologia indotta, tanto vale supporre direttamente $X$ compatto e $f:X->Y$ biunivoca (o se proprio vuoi generalizzare, $f$ iniettiva e quindi biunivoca con l'immagine $f(X)$)
(i) L'applicazione $f$ è chiusa, infatti sia $C subset K$ , allora $C$ è anche compatto dato che è un chiuso dentro un compatto. Dato che $f$ è continua, allora $F(C)$ è anch'esso un compatto. Ed è noto che ogni compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso, quindi $F(C)$ è chiuso.
(ii) Una applicazione continua e biunivoca chiusa (o anche aperta)è un omeomorfismo, cioè anche l'inversa è continua.
Poi non capisco perchè consideri i sottoinsieme $K$,$H$ piuttosto che $X$,$Y$ stessi. Alla fine $K$ e $H$ sono spazi metrici con la topologia indotta, tanto vale supporre direttamente $X$ compatto e $f:X->Y$ biunivoca (o se proprio vuoi generalizzare, $f$ iniettiva e quindi biunivoca con l'immagine $f(X)$)
Ora sono a casa quindi posso dare risposte più articolate, riguardo a quella questione, sostanzialmente ci siamo ridotti a dover dimostrare la seguente cosa: "Sia $X$ spazio topologico (o metrico se vuoi ma è uguale) ${x_n}_(n\inNN)\subsetX$ una successione e $x_0\inX$ tale che $lim_{n->+\infty}x_n=x_0$, sia ${x_(n_k)}_(k\inNN)$ una sottosuccessione di ${x_n}_(n\inNN)$, allora $lim_{k->+\infty}x_(n_k)=x_0$ ".
Nota prima di tutto che c'è solo uno spazio topologico e nessuna funzione continua, ora per dimostrarlo applichiamo la definizione: $AAU$ intorno di $x_0EEn_U\inNN$ tale che $AAn>n_U,x_n\inU$ (per definizione di limite) allora se prendo $\bar{n_U}=min{n_k\inNN|n_k>=n_U}$ (in realtà basterebbe prenderne un elemento ma a me piace di più fare così), che è ben definito perché l'insieme è vuoto (infatti un elemento che ci appartiene è $n_(n_U)$ perché la successione che si deve prendere per considerare una sottosuccessione è strettamente crescente), ci siamo quasi, basta notare che $AAk>=\bar{n_U}>=n_U$ ho che $x_(n_k)\inU$, quindi quello che abbiamo dimostrato è che $AAU$ intorno di $x_0EE\bar{n_U}\inNN$ tale che $AAk>\bar{n_U},x_k\inU$, cioè $lim_{k->+\infty}x_(n_k)=x_0$, che era la tesi.
Ho anche notato all'inizio del tuo post che non hai le idee molto chiare sulla funzione inversa, infatti:
Cosa?!? Snellire la dimostrazione? Non so se te ne rendi conto ma per poter anche solo parlare dell'inversa di una funzione è necessario che la funzione sia invertibile.
Poi chissà cosa intendi con " evitare di renderla invertibile"...
Questo è falso, la funzione $f^(-1)$ (se è ben definita) e $y|-> f^(leftarrow)(y)$ sono due funzioni diverse, infatti il dominio di $y|-> f^(leftarrow)(y)$ è $P(K)$ e il codominio è $P(H)$, mentre dominio e codominio di $f^(-1)$ sono $K$ e $H$.
Sostanzialmente capisci qual è la differenza tra queste due funzioni se capisci quella tra $x$ e ${x}$, nel senso che $AAy\inH$ hai che $f^(leftarrow)({y})={x}$, mentre $f^(-1)(y)=x$ (chiaramente se $x$ è quell'elemento di $K$ tale che $f(x)=y$).
Riguardo a questo passaggio, come ha detto giustamente Ernesto01 non ha tanto senso, a questo punto prendi direttamente $K$ e $H$.
Nota prima di tutto che c'è solo uno spazio topologico e nessuna funzione continua, ora per dimostrarlo applichiamo la definizione: $AAU$ intorno di $x_0EEn_U\inNN$ tale che $AAn>n_U,x_n\inU$ (per definizione di limite) allora se prendo $\bar{n_U}=min{n_k\inNN|n_k>=n_U}$ (in realtà basterebbe prenderne un elemento ma a me piace di più fare così), che è ben definito perché l'insieme è vuoto (infatti un elemento che ci appartiene è $n_(n_U)$ perché la successione che si deve prendere per considerare una sottosuccessione è strettamente crescente), ci siamo quasi, basta notare che $AAk>=\bar{n_U}>=n_U$ ho che $x_(n_k)\inU$, quindi quello che abbiamo dimostrato è che $AAU$ intorno di $x_0EE\bar{n_U}\inNN$ tale che $AAk>\bar{n_U},x_k\inU$, cioè $lim_{k->+\infty}x_(n_k)=x_0$, che era la tesi.
Ho anche notato all'inizio del tuo post che non hai le idee molto chiare sulla funzione inversa, infatti:
L'ipotesi di invertibilità l'ho assunta per snellire la dimostrazione ed evitare di renderla invertibile.
Cosa?!? Snellire la dimostrazione? Non so se te ne rendi conto ma per poter anche solo parlare dell'inversa di una funzione è necessario che la funzione sia invertibile.
Poi chissà cosa intendi con " evitare di renderla invertibile"...
$ 1 $ intanto $ f^(-1):H->K $ è definita come quella funzione che associa $ y|-> f^(leftarrow)(y) $ nonché la fibra di un elemento del condominio, che sarà unica per invertibilità
Questo è falso, la funzione $f^(-1)$ (se è ben definita) e $y|-> f^(leftarrow)(y)$ sono due funzioni diverse, infatti il dominio di $y|-> f^(leftarrow)(y)$ è $P(K)$ e il codominio è $P(H)$, mentre dominio e codominio di $f^(-1)$ sono $K$ e $H$.
Sostanzialmente capisci qual è la differenza tra queste due funzioni se capisci quella tra $x$ e ${x}$, nel senso che $AAy\inH$ hai che $f^(leftarrow)({y})={x}$, mentre $f^(-1)(y)=x$ (chiaramente se $x$ è quell'elemento di $K$ tale che $f(x)=y$).
"anto_zoolander":
Siano $ (X,d_X) $ e $ (Y,d_Y) $ due spazi metrici $ KsubseteqX,HsubseteqY $ sottoinsiemi di $ X,Y $ e $ f:K->H $ una funzione invertibile.
Riguardo a questo passaggio, come ha detto giustamente Ernesto01 non ha tanto senso, a questo punto prendi direttamente $K$ e $H$.
Arrivo a casa e riscrivo tutto per bene 
se cerco di dimostrarla così è perché ancora non ho particolari conoscenze di topologia
partiamo dal fatto che ho una funzione $f:K->H$ continua su $K$ compatto e per invertibile intendo biunivoca(iniettiva, suriettiva). Definisco l'inversa come la funzione
è chiaro che $f^(leftarrow)({y})={x inK:f(x)=y}={x}$
La funzione associa a $y$ l'unico elemento della sua fibra, non la fibra stessa.
Probabilmente sbaglio qui, comunque, andando avanti.
Se non ci dovesse essere nulla di ambiguo, è una funzione ben definita in quanto la fibra di un qualsiasi elemento di $H$ esiste(per la suriettività) e contiene un solo elemento(per l'iniettività)
quello che voglio mostrare è che $forally inH(forall{y_n}_(n inNN)subseteqH,y_n->y =>g(y_n)->g(y))$
$1)$ sia $y inH$ e una successione ${y_n}_(n inNN)subseteqH$ per cui $y_n->y$ tale successione ha la proprietà, che per la suriettività, esiste una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK: x_n=f^(-1)(y_n)$
$2)$ la compattezza di $K$ ci garantisce che $x_n$ ammette una sottosuccessione $x_(n_j)->x inK$ mentre la continuità di $f$ ci garantisce che $f(x_(n_j))-> f(x)$
fino ad ora mi sembra tutto lecito. La biunivocità l'ho usata per trovare una successione di $K$, la compattezza per trovare una sottosuccessione convergente e ho usato anche la continuità di $f$
$3)$ è chiaro che $f(x_n)=y_n <=> x_n=f^(-1)(y_n)$
Ci rimane solo da mostrare che $x_n -> x$
basta mostrare che tutte le sottosuccessioni di $x_n$ che convergono, convergono ad $x$.
$4)$ siano $x_(n_t)$ e $x_(n_s)$ due sottosuccessioni di $x_n$ convergenti a $x_1,x_2$
$-$ per continuità di $f$ si ha che $f(x_(n_t))->f(x_1)$ e $f(x_(n_s))->f(x_2)$
$-$ poichè sottosuccessioni di $f(x_n)$ deve essere $f(x_1)=f(x_2)$
$-$ per iniettività $x_1=x_2$
quindi tutte le sottosuccessioni convergenti di $x_n$ convergono allo stesso limite.
infine una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessioni converge allo stesso limite
se per assurdo $x_n$ non convergesse, allora ammetterebbe almeno due sottosuccessioni convergenti a due limiti diversi, ma abbiamo visto che questo non può accadere, quindi $x_n$ deve converge e deve convergere a $x$
fine.
Ora, non sarà molto elegante, però mi piace.
E' una dimostrazione fatta da me, non una 'classica', quindi avrei il piacere di sistemarla(qualora ci fossero errori).
Penso di aver giustificato tutto
partiamo dal fatto che ho una funzione $f:K->H$ continua su $K$ compatto e per invertibile intendo biunivoca(iniettiva, suriettiva). Definisco l'inversa come la funzione
$f^(-1):=g:H->K$ che associa $y|-> f^(leftarrow)(y)$
è chiaro che $f^(leftarrow)({y})={x inK:f(x)=y}={x}$
La funzione associa a $y$ l'unico elemento della sua fibra, non la fibra stessa.
Probabilmente sbaglio qui, comunque, andando avanti.
Se non ci dovesse essere nulla di ambiguo, è una funzione ben definita in quanto la fibra di un qualsiasi elemento di $H$ esiste(per la suriettività) e contiene un solo elemento(per l'iniettività)
quello che voglio mostrare è che $forally inH(forall{y_n}_(n inNN)subseteqH,y_n->y =>g(y_n)->g(y))$
$1)$ sia $y inH$ e una successione ${y_n}_(n inNN)subseteqH$ per cui $y_n->y$ tale successione ha la proprietà, che per la suriettività, esiste una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK: x_n=f^(-1)(y_n)$
$2)$ la compattezza di $K$ ci garantisce che $x_n$ ammette una sottosuccessione $x_(n_j)->x inK$ mentre la continuità di $f$ ci garantisce che $f(x_(n_j))-> f(x)$
fino ad ora mi sembra tutto lecito. La biunivocità l'ho usata per trovare una successione di $K$, la compattezza per trovare una sottosuccessione convergente e ho usato anche la continuità di $f$
$3)$ è chiaro che $f(x_n)=y_n <=> x_n=f^(-1)(y_n)$
Ci rimane solo da mostrare che $x_n -> x$
basta mostrare che tutte le sottosuccessioni di $x_n$ che convergono, convergono ad $x$.
$4)$ siano $x_(n_t)$ e $x_(n_s)$ due sottosuccessioni di $x_n$ convergenti a $x_1,x_2$
$-$ per continuità di $f$ si ha che $f(x_(n_t))->f(x_1)$ e $f(x_(n_s))->f(x_2)$
$-$ poichè sottosuccessioni di $f(x_n)$ deve essere $f(x_1)=f(x_2)$
$-$ per iniettività $x_1=x_2$
quindi tutte le sottosuccessioni convergenti di $x_n$ convergono allo stesso limite.
infine una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessioni converge allo stesso limite
se per assurdo $x_n$ non convergesse, allora ammetterebbe almeno due sottosuccessioni convergenti a due limiti diversi, ma abbiamo visto che questo non può accadere, quindi $x_n$ deve converge e deve convergere a $x$
fine.
Ora, non sarà molto elegante, però mi piace.
E' una dimostrazione fatta da me, non una 'classica', quindi avrei il piacere di sistemarla(qualora ci fossero errori).
Penso di aver giustificato tutto
"anto_zoolander":
se cerco di dimostrarla così è perché ancora non ho particolari conoscenze di topologia
Non servono strettamente le conoscenze topologiche, quanto il modo di ragionare.
partiamo dal fatto che ho una funzione $f:K->H$ continua su $K$ compatto e per invertibile intendo biunivoca(iniettiva, suriettiva). Definisco l'inversa come la funzione
$f^(-1):=g:H->K$ che associa $y|-> f^(leftarrow)(y)$
è chiaro che $f^(leftarrow)({y})={x inK:f(x)=y}={x}$
La funzione associa a $y$ l'unico elemento della sua fibra, non la fibra stessa.
Eh no! Per come l'hai definita stai associando proprio la fibra, non puoi dire che stai associando il suo elemento.
Probabilmente sbaglio qui, comunque, andando avanti.
Se non ci dovesse essere nulla di ambiguo, è una funzione ben definita in quanto la fibra di un qualsiasi elemento di $H$ esiste(per la suriettività) e contiene un solo elemento(per l'iniettività)
Tecnicamente, l'esistenza della fibra non è un problema, il problema è capire se è o no vuota, e non lo è per il motivo che hai detto.
quello che voglio mostrare è che $forally inH(forall{y_n}_(n inNN)subseteqH,y_n->y =>g(y_n)->g(y))$
$1)$ sia $y inH$ e una successione ${y_n}_(n inNN)subseteqH$ per cui $y_n->y$ tale successione ha la proprietà, che per la suriettività, esiste una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK: x_n=f^(-1)(y_n)$
$2)$ la compattezza di $K$ ci garantisce che $x_n$ ammette una sottosuccessione $x_(n_j)->x inK$ mentre la continuità di $f$ ci garantisce che $f(x_(n_j))-> f(x)$
fino ad ora mi sembra tutto lecito. La biunivocità l'ho usata per trovare una successione di $K$, la compattezza per trovare una sottosuccessione convergente e ho usato anche la continuità di $f$
$3)$ è chiaro che $f(x_n)=y_n <=> x_n=f^(-1)(y_n)$ questo fatto lo usiamo per il seguente motivo:
Ok.
Ci rimane solo da mostrare che $x_n -> x$
Devi dimostrare che $x_n -> g(y)$.
basta mostrare che tutte le sottosuccessioni di $x_n$ che convergono, convergono ad $x$.
E questa da dove l'hai tirata fuori? Non è vero, se vuoi un controesempio prendi $a_n=2^(n(-1)^n)$, la parte dopo si basava su questo quindi è da rifare.
"otta96":
Non servono strettamente le conoscenze topologiche, quanto il modo di ragionare.
Magari per ora mi manca
"otta96":
Devi dimostrare che $x_n->g(y)$
Ho dimenticato di mostrare che $y=f(x)$
$f(x_(n_j))$ è una sottosuccessione di $f(x_n)$, che è convergente, pertanto deve avere lo stesso limite.
Ovvero sarà $y=f(x) <=> x=g(y)$
"otta96":
E questa da dove l'hai tirata fuori? Non è vero, se vuoi un controesempio prendi $a_n=2^(n(−1)^n)$, la parte dopo si basava su questo quindi è da rifare.
Non riesco a trovare un errore in questa parte della dimostrazione
abbiamo almeno una sottosuccessione convergente, quindi l'insieme delle sottosuccessioni convergenti è non vuoto.
se $x_(n_s)$ e $x_(n_t)$ sono due sottosuccessioni convergenti a $x_1,x_2$ allora
$f(x_(n_s))->f(x_1)$ e $f(x_(n_t))->f(x_2)$
essendo sottosuccessioni di $f(x_n)$ successione convergente, devono avere lo stesso limite. Ovvero $f(x_1)=f(x_2)$ da cui $x_1=x_2$ per l'iniettività.
ti riferivi a questo? se si, mi sembra corretto.
Il controesempio quale ipotesi viola? ricorda che $x_n$ l'ho definita a partire da una successione del codominio.
Aggiorno: il mio prof mi ha detto che la dimostrazione è corretta nell’ipotesi in cui sia vero che una successione converge se e solo se ogni sottosuccessione converge allo stesso limite.
Si, ma quello che avevi detto prima era una cosa completamente diversa.
Magari mi sono espresso male come al solito
A questo punto sposto la cosa su un altro piano. Negli spazi metrici è vero che una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite?
Cioè posso accingermi a dimostrarlo, o avete un controesempio?
A questo punto sposto la cosa su un altro piano. Negli spazi metrici è vero che una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite?
Cioè posso accingermi a dimostrarlo, o avete un controesempio?
Si è vero, ma non è un gran risultato.
Va bene, ma se utilizzo un risultato in una dimostrazione da me partorita, avrei il piacere di capire se tutto sia corretto.
A tale scopo metto la dimostrazione di questo ultimo fatto
sia $(X,d)$ spazio metrico e ${x_n}_(n inNN)subseteqX$ una successione.
se ogni sottosuccessione di ${x_n}_(n inNN)$ converge ad $x$ allora $x_n->x$
supponiamo per assurdo che ${x_n}$ non converga ad $x$, allora:
$existsepsilon>0forallj inNN:exists n inNN, n>j wedge d(x_n,x)geqepsilon$
cosa ci dice formalmente che $n>j$? che possiamo costruire una sottosuccessione che non converge.
di fatto l'idea sarebbe che
$j=0,existsk_1 inNN,k_1>0wedged(x_(k_1),x)geqepsilon$
$j=k_1, exists k_2 inNN, k_2>k_1 wedge d(x_(k_2),x)geq epsilon$
...
$j=k_n, exists k_(n+1) inNN,k_(n+1)>k_n wedge d(x_(k_(n+1)),x)geq epsilon$
quindi costruiamo una successione ${k_n}_(n inNN)subseteqNN$ strettamente crescente con la proprietà che $d(x_(k_n),x)geqepsilon$ e questo è impossibile, pertanto deve convergere a $x$
ho utilizzato nel negare la definizione che $not[foralln inNN(P(n)=>Q(n))]equivexistsn inNN(P(n)wedgenotQ(n))$
PS: per sottosuccessione intendo quelle contenute propriamente nella successione di partenza
A tale scopo metto la dimostrazione di questo ultimo fatto
sia $(X,d)$ spazio metrico e ${x_n}_(n inNN)subseteqX$ una successione.
se ogni sottosuccessione di ${x_n}_(n inNN)$ converge ad $x$ allora $x_n->x$
supponiamo per assurdo che ${x_n}$ non converga ad $x$, allora:
$existsepsilon>0forallj inNN:exists n inNN, n>j wedge d(x_n,x)geqepsilon$
cosa ci dice formalmente che $n>j$? che possiamo costruire una sottosuccessione che non converge.
di fatto l'idea sarebbe che
$j=0,existsk_1 inNN,k_1>0wedged(x_(k_1),x)geqepsilon$
$j=k_1, exists k_2 inNN, k_2>k_1 wedge d(x_(k_2),x)geq epsilon$
...
$j=k_n, exists k_(n+1) inNN,k_(n+1)>k_n wedge d(x_(k_(n+1)),x)geq epsilon$
quindi costruiamo una successione ${k_n}_(n inNN)subseteqNN$ strettamente crescente con la proprietà che $d(x_(k_n),x)geqepsilon$ e questo è impossibile, pertanto deve convergere a $x$
ho utilizzato nel negare la definizione che $not[foralln inNN(P(n)=>Q(n))]equivexistsn inNN(P(n)wedgenotQ(n))$
PS: per sottosuccessione intendo quelle contenute propriamente nella successione di partenza
Anto, scusami un attimo.
La successione tutta intera è una sottosuccessione di sé stessa. Quindi questa frase non contiene nessuna informazione. Il teoremino "vero" è un altro: in uno spazio metrico (ma pure topologico) \(X\), la successione \((x_n)_{n\in \mathbb N}\) converge a \(x\) se e solo se per ogni sottosuccessione \( (x_{k_1(n)})_{n\in\mathbb N}\) risulta che esiste una sotto-sottosuccessione \( (x_{k_1(k_2(n))})_{n\in\mathbb N}\) tale che \(\lim_{n\to \infty} x_{k_1(k_2(n))}=x\).
Suggerimento per la dimostrazione: ragionare per assurdo.
Negli spazi metrici è vero che una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite?
La successione tutta intera è una sottosuccessione di sé stessa. Quindi questa frase non contiene nessuna informazione. Il teoremino "vero" è un altro: in uno spazio metrico (ma pure topologico) \(X\), la successione \((x_n)_{n\in \mathbb N}\) converge a \(x\) se e solo se per ogni sottosuccessione \( (x_{k_1(n)})_{n\in\mathbb N}\) risulta che esiste una sotto-sottosuccessione \( (x_{k_1(k_2(n))})_{n\in\mathbb N}\) tale che \(\lim_{n\to \infty} x_{k_1(k_2(n))}=x\).
Suggerimento per la dimostrazione: ragionare per assurdo.
Ciao Dissonance, buon 25 aprile
Al momento sono fuori, appena torno la faccio.
Io intendevo comunque escludendo la successione stessa, ovvero, per ‘qualsiasi sottosuccessione propria’ intendo esclusa la successione stessa.
Al momento sono fuori, appena torno la faccio.
Io intendevo comunque escludendo la successione stessa, ovvero, per ‘qualsiasi sottosuccessione propria’ intendo esclusa la successione stessa.
Vabbé, ma è sempre una banalità. La sottosuccessione \((x_2, x_3, x_4 \ldots)\) è una sottosuccessione propria, e chiaramente essa converge se e solo se la successione intera lo fa. (Qui "successione intera" significa \((x_1, x_2, x_3\ldots)\)).
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