Continuità in un punto

[Mortimer1]

Un punto isolato è un punto di continuità? In tal caso la nozione di continuità sarebbe sganciata dal concetto di limite.

[fireball1]

Sì, è proprio così.
Sia $f:X sube RR -> RR$ e $x_0 in X$. Allora:

i) Se $x_0$ è punto isolato di $X$, $f$ si dice continua in $x_0$.

ii) Se $x_0$ è punto di accumulazione per $X$, $f$
si dice continua in $x_0$ se
$lim_(x->x_0) f(x) =f(x_0)

[Fioravante Patrone1]

"Mortimer":Un punto isolato è un punto di continuità? In tal caso la nozione di continuità sarebbe sganciata dal concetto di limite.

la risposta di fireball è corretta

volevo solo fare una osservazione sul fatto che la continuità "sarebbe sganciata dal concetto di limite". Mi metto in $RR$, ma il discorso si può estendere, e parecchio!
- tradizionalmente il limite viene definito solo nei punti di accumulazione
- ma se uno legge attentamente la definizione, si accorge che anche questa condizione la proposizione che definisce il limite ha un senso lo stesso
- e allora? Semplice. Se non si richiede che il punto sia di accumulazione, salta l'unicità del limite. Insomma, ho un insieme di limiti
- addirrittura, se prendo un punto che non sia di accumulazione, ho che ogni numero reale è limite!
- allora, la definizione di continuità che si impara da bambini, quella riportata da fireball, sta in piedi lo stesso, basta riscriverla così:

$f(x_0) \in lim_(x->x_0) f(x)$

- e così si ristabilisce l'armonia del cosmo:

ogni funz è cont in un punto isolato

inquantocché

ogni numero reale è limita, in un punto isolato