Continuità in due variabili (2)
Ecco un nuovo esercizio sulla continuità su cui mi sono incartato. Ho la funzione
$f(x,y)={(\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}, if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
E devo provare fra le tante cose che è continua nell'origine. Sono partito "sparato" con la maggiorazione
$log(1+x)<=|x|$
e in un qualche modo (che caso mai posso postare in un secondo momento) ho provato che il limite tende a 0. Ciò però non mi assicura un bel niente perché non ho maggiorato $|\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}|$ ma solo $\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}$. Come posso allora trattare il termine $log(1+x^3-y^5)$ in modo intelligente?
Grazie anticipatamente
$f(x,y)={(\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}, if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
E devo provare fra le tante cose che è continua nell'origine. Sono partito "sparato" con la maggiorazione
$log(1+x)<=|x|$
e in un qualche modo (che caso mai posso postare in un secondo momento) ho provato che il limite tende a 0. Ciò però non mi assicura un bel niente perché non ho maggiorato $|\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}|$ ma solo $\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}$. Come posso allora trattare il termine $log(1+x^3-y^5)$ in modo intelligente?
Grazie anticipatamente
Risposte
A me non sembra ben definita, per esempio in $(1/2,1)$.
"Cantor99":
Ecco un nuovo esercizio sulla continuità su cui mi sono incartato. Ho la funzione
$f(x,y)={(\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}, if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
E devo provare fra le tante cose che è continua nell'origine. Sono partito "sparato" con la maggiorazione
$log(1+x)<=|x|$
e in un qualche modo (che caso mai posso postare in un secondo momento) ho provato che il limite tende a 0. Ciò però non mi assicura un bel niente perché non ho maggiorato $|\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}|$ ma solo $\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}$. Come posso allora trattare il termine $log(1+x^3-y^5)$ in modo intelligente?
Grazie anticipatamente
Io passerei alle coordinate polari e quindi al limite per r che va a zero.
Essendo la prima forma indeterminata 0/0, applicherei l'Hopital. Fondamentalmente non serve nemmeno fare grandi conti basta notare che il rapporto diventerà del tipo $0/(2cos^2(theta)$ quindi il limite è indeterminato solo se arriva a zero lungo l'asse y. Analizzando il limite per x=0 $ lim_(y -> 0^+- ) ln(1-y^5)/y^4 =lim_(y -> 0^+- ) -5/(1-y^5)=-5 $
E' un approccio smanettone ma dovrebbe essere corretto.
P.S. Devo smetterla di fare copia e incolla....faccio dei casini pazzeschi
E infatti facendo il limite a mente ho cannato: $ lim_(y -> 0^+- ) ln(1-y^5)/y^4 =lim_(y -> 0^+- ) (-5y)/(4(1-y^5))=0 $
Quindi è continua in (0,0)
Quindi è continua in (0,0)
"arnett":
Scusate se mi intrometto ma il limite deve essere uniforme in $\theta$. Cioé non basta distinguere i casi e far vedere che funziona per ogni $theta$, devi a un certo punto mandarlo via.
Beh ma quando si passa alle coordinate polari il limite per r che tende a zero è uniforme e arriva da tutte le direzioni.
Bok il limite in coordinate polari diventa
$lim_(r->0)s u p_(theta in[0,2pi])|f(rcostheta+x_0,rsintheta+y_0)-l |$
"anto_zoolander":
Bok il limite in coordinate polari diventa
$lim_(r->0)s u p_(theta in[0,2pi])|f(rcostheta+x_0,rsintheta+y_0)-l |$
Il problema chiede solo la continuità, no?
Non derivabilità o differenziabilità.
Appunto. Questa condizione è equivalente a quella di chiedere la continuità in $(x_0,y_0)$
Chiaramente al posto di $l$ lì ci va $f(x_0,y_0)$
Chiaramente al posto di $l$ lì ci va $f(x_0,y_0)$
"anto_zoolander":
Appunto. Questa condizione è equivalente a quella di chiedere la continuità in $(x_0,y_0)$
Chiaramente al posto di $l$ lì ci va $f(x_0,y_0)$
Non capisco l'inghippo allora.
Cantor chiedeva "E devo provare fra le tante cose che è continua nell'origine"
l=0 e ho scritto verbalmente quel limite.
Al variare di theta ci sono due angoli che danno una forma indeterminata, ovvero da pi/2 verso l'origine e da 3pi/2 verso l'origine. La cosa più comoda è quindi valutare quei due limiti come ho fatto sopra e alla fine il sup è zero da tutte le direzioni
Ti prego spiegami cosa non va?
Prendi la funzione $f(x,y)={(x+y if (x,y) inRR_0),(1 if (x,y)=(0,0)) :}$
La funzione è palesemente discontinua.
Però se applichiamo la trasformazione in coordinate polari otteniamo
$f^(star)(r,theta)=r(costheta+sintheta)$ quando $rne0$
È chiaro che per ogni $theta$ il limite per $r->0$ è $0$ ma la funzione è palesemente discontinua.
Infatti puoi vedere che $s u p_(theta in[0,2pi])|r(costheta+sintheta)-1|$ non dovrebbe andare a $0$
La funzione è palesemente discontinua.
Però se applichiamo la trasformazione in coordinate polari otteniamo
$f^(star)(r,theta)=r(costheta+sintheta)$ quando $rne0$
È chiaro che per ogni $theta$ il limite per $r->0$ è $0$ ma la funzione è palesemente discontinua.
Infatti puoi vedere che $s u p_(theta in[0,2pi])|r(costheta+sintheta)-1|$ non dovrebbe andare a $0$
"anto_zoolander":
Prendi la funzione $f(x,y)={(x+y if (x,y) inRR_0),(1 if (x,y)=(0,0)) :}$
La funzione è palesemente discontinua.
Però se applichiamo la trasformazione in coordinate polari otteniamo
$f^(star)(r,theta)=r(costheta+sintheta)$ quando $rne0$
È chiaro che per ogni $theta$ il limite per $r->0$ è $0$ ma la funzione è palesemente discontinua.
Infatti puoi vedere che $s u p_(theta in[0,2pi])|r(costheta+sintheta)-1|$ non dovrebbe andare a $0$
Se invece fosse:
$f(x,y)={(x+y if (x,y) inRR_0),(0 if (x,y)=(0,0)) :}$
allora sarebbe continua perchè il $s u p_(theta in[0,2pi])|r(costheta+sintheta)-0|$ è sempre zero.
E se invece la funzione originale fosse stata:
$f(x,y)={(\frac{log(1+x^3-y^5)}{x^2-5x^2y^2+y^4}, if (x,y)!=(0,0)),(1, if (x,y)=(0,0)):}$
Non sarebbe stata continua e l'avrei comunque dimostrato perchè mi sarebbe venuto $0/(2cos(theta)) -1$
Non capisco cosa dimostrerebbe. Il metodo appunto funziona, mi dimostra in tutti e 4 i casi se la funzione è continua o meno nell'origine.
Anto, non è che non avevi visto che l=0?
Volevo solo dirti che non vale in generale, con un controesempio. Ovvero il fatto che per ogni $theta$ tenda a zero non è condizione sufficiente. In questo caso la funzione è continua quindi è normale che debba venire così in quanto la continuità implica che lungo ogni curva il limite valga zero.
Infatti nel controesempio con tutto che lungo ogni direzione(in coordinate polari) tenda a $0$ la funzione non è continua.
click
Infatti nel controesempio con tutto che lungo ogni direzione(in coordinate polari) tenda a $0$ la funzione non è continua.
click
"anto_zoolander":
Volevo solo dirti che non vale in generale, con un controesempio.
Ah ok, ma lo sapevo già. Ho solo risolto a "modo mio" il problema concreto
La forma indeterminata non implicava la non esistenza del limite per $theta=pi/2=3pi/2$.
Scelgo sempre la strada più facile
Ok, adesso ho capito. Il problema è che il limite polare si avvicina solo tramite semirette e quindi non mi garantisce che il limite esista anche per sentieri non lineari. Ora ho compreso anche la critica di Arnett.
E suvvia potevate anche scriverlo così, no?
Quindi la risposta è no, il mio metodo smanettone è tutto fuorchè universale se si vuole provare l'esistenza di un limite.
Grazie del link Anto.
E suvvia potevate anche scriverlo così, no?
Quindi la risposta è no, il mio metodo smanettone è tutto fuorchè universale se si vuole provare l'esistenza di un limite.
Grazie del link Anto.
"Bokonon":
E suvvia potevate anche scriverlo così, no?
[ot]mentre ti scrivevo stavo giocando a Risiko, quindi ero molto concentrato... sul Risiko
[/ot]
Grazie delle tante risposte! Purtroppo, per motivi a me esterni, rispondo solo ora
Di solito questi esercizi li risolvo per maggiorazioni (il nostro prof ha sempre usato questo approccio ed è solito semplificare di brutto pessime espressioni algebriche
!). Riflettendoci un po', la funzione $|log(1+x)|$ penso possa essere maggiorata semplicemente con $2|x|$, a patto di mettermi in un intorno piccolo di $(0,0)$. In questo modo ho
$|log(1+x^3-y^5)|<=2|x^3-y^5|$
e devo maggiorare
$\frac{2|x^3-y^5|}{x^2(1-5y^2)+y^4}$
Ora il problema è diventato il numeratore e per ovviarlo faccio un'altra supposizione: scelgo un intorno dell'origine incluso nel precedente per cui $1-5y^2>\frac{1}{2}$. A questo punto maggioro con
$\frac{2|x^3-y^5|}{\frac{x^2}{2}+y^4} <= \frac{2|x|^3}{\frac{x^2}{2}+y^4}+\frac{2|y|^5}{\frac{x^2}{2}+y^4}$
I termini comparsimi a lato posso a loro volta essere maggiorati semplicemente con
$4|x|+2|y|$
che ovviamente va a 0
Che dite, vi convince?
Tornando alle vostre risposte, a quanto ho capito, se provo che
$lim_(\rho->0) (sup)_(\theta\in[0,2\pi]) |f(\rho*cos(\theta),\rho*sin(\theta)| =0$
ho che il limite per $(x,y)->(0,0)$ è effettivamente 0?
Provo allora a farlo!
Ps: il simbolo di inclusione è in realtà un "sup"
Di solito questi esercizi li risolvo per maggiorazioni (il nostro prof ha sempre usato questo approccio ed è solito semplificare di brutto pessime espressioni algebriche
!). Riflettendoci un po', la funzione $|log(1+x)|$ penso possa essere maggiorata semplicemente con $2|x|$, a patto di mettermi in un intorno piccolo di $(0,0)$. In questo modo ho$|log(1+x^3-y^5)|<=2|x^3-y^5|$
e devo maggiorare
$\frac{2|x^3-y^5|}{x^2(1-5y^2)+y^4}$
Ora il problema è diventato il numeratore e per ovviarlo faccio un'altra supposizione: scelgo un intorno dell'origine incluso nel precedente per cui $1-5y^2>\frac{1}{2}$. A questo punto maggioro con
$\frac{2|x^3-y^5|}{\frac{x^2}{2}+y^4} <= \frac{2|x|^3}{\frac{x^2}{2}+y^4}+\frac{2|y|^5}{\frac{x^2}{2}+y^4}$
I termini comparsimi a lato posso a loro volta essere maggiorati semplicemente con
$4|x|+2|y|$
che ovviamente va a 0
Che dite, vi convince?
Tornando alle vostre risposte, a quanto ho capito, se provo che
$lim_(\rho->0) (sup)_(\theta\in[0,2\pi]) |f(\rho*cos(\theta),\rho*sin(\theta)| =0$
ho che il limite per $(x,y)->(0,0)$ è effettivamente 0?
Provo allora a farlo!
Ps: il simbolo di inclusione è in realtà un "sup"
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