Continuità in due variabili
Ho un dubbio sul seguente esercizio.
Data la funzione
$f(x,y)={(xlog(y^2), if y!=0),(0, if y=0):}$
Studiare la continuità sul piano.
Chiaramente, al di fuori del piano $y=0$ non ho problemi e lo studio si riduce ai punti $(k,0)$ con $ k\in \RR$. Se $k!=0$ ho che la funzione diverge e quindi non vi può essere continuità. Lo studio si concentra su $(0,0)$, su cui però ho dubbi
1) Come primo tentativo, ho voluto fare il test delle rette avendo
$lim_(x->0) f(x,mx)= lim_(x->0) xlog(m^2x^2)=0$, se $m!=0$
La domanda è: a questo punto, non potendo studiare il caso $m=0$, il test è fallito?
2) Provo inoltre con le sostituzioni polari, avendo
$ lim_(\rho->0) f(\rho*cos(\theta),\rho*sin(\theta)) = lim_( \rho ->0) \rho*cos(\theta)log(\rho^2*sin^2(\theta))=0$
se $\theta$ non è un multiplo di $\pi$. Stessa domanda: questo test è fallito o è un successo?
In definitiva, posso dire che il limite non esiste per questi test? O nel caso non possa, devo passare alle maggiorazioni?
Grazie anticipatamente e spero che si capisca il mio dubbio
Data la funzione
$f(x,y)={(xlog(y^2), if y!=0),(0, if y=0):}$
Studiare la continuità sul piano.
Chiaramente, al di fuori del piano $y=0$ non ho problemi e lo studio si riduce ai punti $(k,0)$ con $ k\in \RR$. Se $k!=0$ ho che la funzione diverge e quindi non vi può essere continuità. Lo studio si concentra su $(0,0)$, su cui però ho dubbi
1) Come primo tentativo, ho voluto fare il test delle rette avendo
$lim_(x->0) f(x,mx)= lim_(x->0) xlog(m^2x^2)=0$, se $m!=0$
La domanda è: a questo punto, non potendo studiare il caso $m=0$, il test è fallito?
2) Provo inoltre con le sostituzioni polari, avendo
$ lim_(\rho->0) f(\rho*cos(\theta),\rho*sin(\theta)) = lim_( \rho ->0) \rho*cos(\theta)log(\rho^2*sin^2(\theta))=0$
se $\theta$ non è un multiplo di $\pi$. Stessa domanda: questo test è fallito o è un successo?
In definitiva, posso dire che il limite non esiste per questi test? O nel caso non possa, devo passare alle maggiorazioni?
Grazie anticipatamente e spero che si capisca il mio dubbio
Risposte
"Cantor99":
La domanda è: a questo punto, non potendo studiare il caso $m=0$, il test è fallito?
E perché mai non potresti studiare il caso $m=0$?
questo test è fallito o è un successo?
Se ti limiti a fare il limite in coordinate polari "puntualmente" in $\rho$ è ESATTAMENTE come fare il test sulle rette (riflettici), le coordinate polari dovrebbero servire a fare il limite "uniformemente" in $\rho$.
In definitiva, posso dire che il limite non esiste per questi test?
I test che hai fatto, che in ultima analisi sono esattamente uguali, non ti permettono di concludere niente (o meglio, puoi concludere che se il limite esiste è nullo). Comunque non capisco come mai pensavi che implicassero che il limite non esistesse, piuttosto i risultati ottenuti suggeriscono che il limite esiste e faccia $0$ (cosa che però è falsa).
grazie per la risposta.
Per $m=0$, $f$ vale 0 giustamente
Il dubbio mi permane per le coordinate polari. Il limite perde di definizione per $\theta=k\pi$ quindi il test è inconcludente per questo?
In ogni caso, potresti spiegarmi/linkarmi una spiegazione su cosa intendi per fare il limite "uniforme" con le polari?
Intanto provo a dimostrare che il limite non esiste
Per $m=0$, $f$ vale 0 giustamente
Il dubbio mi permane per le coordinate polari. Il limite perde di definizione per $\theta=k\pi$ quindi il test è inconcludente per questo?
In ogni caso, potresti spiegarmi/linkarmi una spiegazione su cosa intendi per fare il limite "uniforme" con le polari?
Intanto provo a dimostrare che il limite non esiste
Per $\theta=kpi$ è la stessa cosa di $m=0$.
La cosa del limite uniforme in $\theta$ dovrebbe essere in ogni libro/dispense che parla di queste cose, te da dove studi?
La cosa del limite uniforme in $\theta$ dovrebbe essere in ogni libro/dispense che parla di queste cose, te da dove studi?
Hai ragione, scusa la domanda sciocca.
Sul mio libro non viene menzionato questo fatto delle polari (o almeno, per ora, non l'ho trovato) e mi baso su esempi visti online. Nel caso faccio una ricerca più apporfondita su internet
Per far vedere che il limite non esiste è corretto fare così?
Ho già provato che su alcune restrizioni il limite fa 0. Ora $AA M>0$ $EE \delta>0$ tale che se $0<|y|<\delta$ allora $log(y^2)<-M$.Se ora considero l'intorno $I_(\delta)(0,0)$ ho $AA M>0$ $xlog(y^2)<=-\deltaM$
Il che dovrebbe garantirmi che il limite diverge a $-\infty$. È giusto? C'è un metodo più rapido?
Grazie ancora
Sul mio libro non viene menzionato questo fatto delle polari (o almeno, per ora, non l'ho trovato) e mi baso su esempi visti online. Nel caso faccio una ricerca più apporfondita su internet
Per far vedere che il limite non esiste è corretto fare così?
Ho già provato che su alcune restrizioni il limite fa 0. Ora $AA M>0$ $EE \delta>0$ tale che se $0<|y|<\delta$ allora $log(y^2)<-M$.Se ora considero l'intorno $I_(\delta)(0,0)$ ho $AA M>0$ $xlog(y^2)<=-\deltaM$
Il che dovrebbe garantirmi che il limite diverge a $-\infty$. È giusto? C'è un metodo più rapido?
Grazie ancora
Non è possibile che su un libro decente non si parli delle coordinate polari come tecnica per risolvere limiti in due variabili.
Comunque non hai considerato correttamente la $x$ nella disuguaglianza, se filasse tutto così liscio come dici il limite farebbe $-\infty$, invece che non esistere. Prova a considerare piuttosto delle altre restrizioni opportune del tipo $y=f(x)$ cercando di far vincere il $log$ sulla $x$.
Comunque non hai considerato correttamente la $x$ nella disuguaglianza, se filasse tutto così liscio come dici il limite farebbe $-\infty$, invece che non esistere. Prova a considerare piuttosto delle altre restrizioni opportune del tipo $y=f(x)$ cercando di far vincere il $log$ sulla $x$.
la $x$, essendo elemento di quell'intorno, l'ho posta semplicemente minore di $\delta$
Comunque, dato che ogni infinitesimo di grado finito mi dà limite 0, ho porvato con $y=e^(\frac{1}{x})$
che almeno in un intorno sinistro (dove ho problemi in realtà) di $0$ mi dà che il limite è 2.
Ammetto di essere molto in difficoltà
Comunque, dato che ogni infinitesimo di grado finito mi dà limite 0, ho porvato con $y=e^(\frac{1}{x})$
che almeno in un intorno sinistro (dove ho problemi in realtà) di $0$ mi dà che il limite è 2.
Ammetto di essere molto in difficoltà
Quindi hai fatto vedere che se esiste il limite è $2$, insieme a quello che sapevi già hai finito.
"otta96":
Per $\theta=kpi$ è la stessa cosa di $m=0$.
La cosa del limite uniforme in $\theta$ dovrebbe essere in ogni libro/dispense che parla di queste cose, te da dove studi?
Questa cosa in realtà io non ricordo si averla mai letta su nessun libro, sai? Ricordo però di aver faticato un po' per trovarmela da solo. Ne abbiamo poi parlato su questo forum varie volte.
Davvero? Mi pare strano, da come l'aveva detto il mio professore mi sembrava una cosa naturale e quindi pensavo si trovasse facilmente sui libri. Non ne sono sicuro ma credo che sul Cecconi-Stampacchia ci fosse. In ogni caso se è una cosa così difficile da trovare magari stasera scrivo qualcosa a proposito (a meno che dissonance non abbia voglia di cercare qualche vecchia discussione in cui la cosa è spiegata bene e linkarla 
).
).
Meglio se la scrivi tu! (vergognoso scarica barile)
La questione viene trattata bene anche sul Canuto Tabacco Analisi Matematica 2 (libro consigliato al politecnico di Torino).
"dissonance":
[quote="otta96"]Per $\theta=kpi$ è la stessa cosa di $m=0$.
La cosa del limite uniforme in $\theta$ dovrebbe essere in ogni libro/dispense che parla di queste cose, te da dove studi?
Questa cosa in realtà io non ricordo si averla mai letta su nessun libro, sai? Ricordo però di aver faticato un po' per trovarmela da solo. Ne abbiamo poi parlato su questo forum varie volte.[/quote]
Io l'ho trovata solo sul Canuto Tabacco volume 2!
Edit: scusami @Mathita, non avevo visto il tuo intervento
Grazie otta96, sei sempre di grande aiuto. E grazie per gli altrointerventi!
Se riusite a trovare qualche discussione, dispensa o altro ve ne sarei grato. Io studio sul Marcellini-Sbordone-Fusco (essendo quest'ultimo mio professore) e mi sembra di non aver trovato nulla
Se riusite a trovare qualche discussione, dispensa o altro ve ne sarei grato. Io studio sul Marcellini-Sbordone-Fusco (essendo quest'ultimo mio professore) e mi sembra di non aver trovato nulla
Grazie mille @dissonance!
Perfetto, dissonance alla fine ha cercato il link e io l'ho scampata
A parte le battute ho controllato il link e penso che spieghi bene la questione, anche se non c'è la dimostrazione, quindi prova a farla da solo (è abbastanza facile), se proprio non ti viene dillo qui che ti si da una mano.
A parte le battute ho controllato il link e penso che spieghi bene la questione, anche se non c'è la dimostrazione, quindi prova a farla da solo (è abbastanza facile), se proprio non ti viene dillo qui che ti si da una mano.
Una richiesta collegata alla mia funzione, mi chiede di provare la veridicità di questa affermazione
" Per ogni coppia di polinomi $\gamma_1,\gamma_2 :[0,1]->\RR$ infinitesimi per $t->0$ è vero che
$lim_(t->0) f(\gamma_1(t),\gamma_2(t))=0$"
Io direi che è vero perchè il logaritmo di un polinomio non fa in modo da rendere quel limite non nullo (d'altra parte, ho dovuto scegliere un infinitesimo di grado non finito per far vedere che la funzione non è continua in (0,0)!
Vi torna questo ragionamento?
" Per ogni coppia di polinomi $\gamma_1,\gamma_2 :[0,1]->\RR$ infinitesimi per $t->0$ è vero che
$lim_(t->0) f(\gamma_1(t),\gamma_2(t))=0$"
Io direi che è vero perchè il logaritmo di un polinomio non fa in modo da rendere quel limite non nullo (d'altra parte, ho dovuto scegliere un infinitesimo di grado non finito per far vedere che la funzione non è continua in (0,0)!
Vi torna questo ragionamento?
"Cantor99":
Una richiesta collegata alla mia funzione, mi chiede di provare la veridicità di questa affermazione
" Per ogni coppia di polinomi $\gamma_1,\gamma_2 :[0,1]->\RR$ infinitesimi per $t->0$ è vero che
$lim_(t->0) f(\gamma_1(t),\gamma_2(t))=0$"
Io direi che è vero perchè il logaritmo di un polinomio non fa in modo da rendere quel limite non nullo (d'altra parte, ho dovuto scegliere un infinitesimo di grado non finito per far vedere che la funzione non è continua in (0,0)!
Vi torna questo ragionamento?
Il ragionamento mi torna, anche se a detti stretti questa non è esattamente una dimostrazione. Se il tuo insegnante è particolarmente severo, può tranquillamente considerare la tua giustificazione insufficiente.
Sisi era solo l'idea. L'ho formalizzato (meglio spero) usando il seguente limite notevole
$lim_(t->0) t^\alpha log(t^\beta)=0$
con $\alpha,\beta$ positivi, che nel mio caso sono i gradi di $\gamma_1,\gamma_2$
$lim_(t->0) t^\alpha log(t^\beta)=0$
con $\alpha,\beta$ positivi, che nel mio caso sono i gradi di $\gamma_1,\gamma_2$
Attento, $\alpha$ e $\beta$ non sono i gradi di $\gamma_1, \gamma_2$. $\alpha$ coincide con l'ordine di infinitesimo associato a $\gamma_1(t)$, mentre $\beta$ è l'ordine di infinitesimo associato a $(\gamma_2(t))^2$ (perché all'interno del logaritmo compare un quadrato).
Per il resto, la strada è quella che hai delineato.
Per il resto, la strada è quella che hai delineato.
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