Continuità in due variabili

[Cantor99]

Ho un dubbio sul seguente esercizio.
Data la funzione
$f(x,y)={(xlog(y^2), if y!=0),(0, if y=0):}$
Studiare la continuità sul piano.

Chiaramente, al di fuori del piano $y=0$ non ho problemi e lo studio si riduce ai punti $(k,0)$ con $ k\in \RR$. Se $k!=0$ ho che la funzione diverge e quindi non vi può essere continuità. Lo studio si concentra su $(0,0)$, su cui però ho dubbi

1) Come primo tentativo, ho voluto fare il test delle rette avendo
$lim_(x->0) f(x,mx)= lim_(x->0) xlog(m^2x^2)=0$, se $m!=0$
La domanda è: a questo punto, non potendo studiare il caso $m=0$, il test è fallito?

2) Provo inoltre con le sostituzioni polari, avendo
$ lim_(\rho->0) f(\rho*cos(\theta),\rho*sin(\theta)) = lim_( \rho ->0) \rho*cos(\theta)log(\rho^2*sin^2(\theta))=0$
se $\theta$ non è un multiplo di $\pi$. Stessa domanda: questo test è fallito o è un successo?

In definitiva, posso dire che il limite non esiste per questi test? O nel caso non possa, devo passare alle maggiorazioni?

Grazie anticipatamente e spero che si capisca il mio dubbio

[Cantor99]

sisi hai ragione! Grazie dell'intervento