Continuità funzioni a 2 variabili
Salve ragazzi,
Ho un dubbio riguarda la continuità di una funzione in 2 variabili. Solitamente gli esercizi mi chiedono di calcolare il limite nell'origine, verificare se esiste e nel caso esista, stabilirne il valore. Il mio procedimento, se ottengo una forma indeterminata sostituendo direttamente il punto (0,0) è questo: valuto la funzione una volta sull'asse delle x e una volta sull'asse delle y, ciò che ottengo dalle 2 funzioni faccio tendere i limiti (a questo punto dell'unica variabile) a zero, se trovo 2 valori diversi concludo che non esiste il limite, se sono 2 valori uguali ciò non è sufficiente per dire che esiste il limite. Quindi valuto la funzione con l'equazione del fascio di rette per vedere se è continua lungo tutte le rette (y=mx). Se ottengo un valore che non dipende da m e quindi dalla particolare retta allora è possibile che il limite esista, perchè ciò ancora non è sufficiente
. Quindi valuto la funzione lungo una curva costruita che in modo tale che il denominatore costituito per esempio da x e y aventi esponenti diversi, pesi in ugual modo, cioè rendendo uniformi gli esponenti e ottenendo nuovamente un limiti ad una variablile, dopodichè se tale limite è diverso da quelli calcolati prima allora il limite della funzione non esiste, altrimenti se esiste ed è uguale a quelli calcolati prima (con restrizioni agli assi e a rette y=mx), è sufficiente per dire che il limite esiste?? Perchè ho trovato un testo che mi dice che se pure esiste lungo tutte le curve non è sufficiente per provare che il limite esiste, ma devo dimostrarlo con le maggiorazioni radiali o con maggioraazioni normali in valore assoluto e quindi usare il teorema di confronto, Voi cosa dite ? Grazie mille in anticipo 
Ho un dubbio riguarda la continuità di una funzione in 2 variabili. Solitamente gli esercizi mi chiedono di calcolare il limite nell'origine, verificare se esiste e nel caso esista, stabilirne il valore. Il mio procedimento, se ottengo una forma indeterminata sostituendo direttamente il punto (0,0) è questo: valuto la funzione una volta sull'asse delle x e una volta sull'asse delle y, ciò che ottengo dalle 2 funzioni faccio tendere i limiti (a questo punto dell'unica variabile) a zero, se trovo 2 valori diversi concludo che non esiste il limite, se sono 2 valori uguali ciò non è sufficiente per dire che esiste il limite. Quindi valuto la funzione con l'equazione del fascio di rette per vedere se è continua lungo tutte le rette (y=mx). Se ottengo un valore che non dipende da m e quindi dalla particolare retta allora è possibile che il limite esista, perchè ciò ancora non è sufficiente
. Quindi valuto la funzione lungo una curva costruita che in modo tale che il denominatore costituito per esempio da x e y aventi esponenti diversi, pesi in ugual modo, cioè rendendo uniformi gli esponenti e ottenendo nuovamente un limiti ad una variablile, dopodichè se tale limite è diverso da quelli calcolati prima allora il limite della funzione non esiste, altrimenti se esiste ed è uguale a quelli calcolati prima (con restrizioni agli assi e a rette y=mx), è sufficiente per dire che il limite esiste?? Perchè ho trovato un testo che mi dice che se pure esiste lungo tutte le curve non è sufficiente per provare che il limite esiste, ma devo dimostrarlo con le maggiorazioni radiali o con maggioraazioni normali in valore assoluto e quindi usare il teorema di confronto, Voi cosa dite ? Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao ..
Come hai detto tu puoi vedere lungo gli assi e "farti un'idea" del possibile candidato limite.
Se trovi una qualsiasi restrizione lungo la quale il limite risulta diverso dal tuo candidato allora quel limite non esiste.
Mentre un modo per dimostrarne , invece , l'esistenza è riscrivere il limite in coordinate polari e verificare che : $lim_((rho,theta)->(0,0))|f(rho,theta)|=0$ . In questo modo potrai fare delle maggiorazioni per esempio seno e coseno sono funzioni periodiche che oscillano tra -1 e 1 e le maggiori così $|cosx|<=1$ , $|sinx|<=1$. Alla fine devi ottenere una funzione dipendente solo da $rho$ tale che tenda a zero per $rho ->0$.
Un altro modo è il teorema del confronto.
Come hai detto tu puoi vedere lungo gli assi e "farti un'idea" del possibile candidato limite.
Se trovi una qualsiasi restrizione lungo la quale il limite risulta diverso dal tuo candidato allora quel limite non esiste.
Mentre un modo per dimostrarne , invece , l'esistenza è riscrivere il limite in coordinate polari e verificare che : $lim_((rho,theta)->(0,0))|f(rho,theta)|=0$ . In questo modo potrai fare delle maggiorazioni per esempio seno e coseno sono funzioni periodiche che oscillano tra -1 e 1 e le maggiori così $|cosx|<=1$ , $|sinx|<=1$. Alla fine devi ottenere una funzione dipendente solo da $rho$ tale che tenda a zero per $rho ->0$.
Un altro modo è il teorema del confronto.
Non puoi semplicemente vedere se è differenziabile in quel punto?
Certo che si potrebbe , ma , almeno da me , quando mi viene richiesta la continuità in un punto vogliono la spiegazione con la definizione di limite.
Grazie mille ragazzi ma resta un piccolo dubbio, e cioè una volta che magari considerando restrizioni a rette e curve mi trovo limite uguale, è sufficiente per dire che è continua? Oppure devo fare sempre le maggiorazioni?
Non fidarti al 100% di me mi raccomando ! 
Però negli esercizi che ho svolto a scuola dicevamo che era continua solo dopo averla riscritta in coordinate polari o aver dimostrato che era applicabile il teorema del confronto.
Di sicuro restringerla solo alle rette $y=mx$ non basta per poter dire che è continua.
Però negli esercizi che ho svolto a scuola dicevamo che era continua solo dopo averla riscritta in coordinate polari o aver dimostrato che era applicabile il teorema del confronto.
Di sicuro restringerla solo alle rette $y=mx$ non basta per poter dire che è continua.
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