Continuità funzione logaritmica

Sk_Anonymous
Ciao, qualcuno può guidarmi nella dimostrazione della continuità della funzione logaritmica?

Risposte
Gi81
Cioè, vuoi dimostrare formalmente che $AA x_0 in RR^+$ si ha $lim_(x->x_0) log(x)=log(x_0)$, giusto?
Dov'è che ti blocchi?

gugo82
È un'applicazione banale dell'inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone (vedi qui).

Sk_Anonymous
"Gi8":
Cioè, vuoi dimostrare formalmente che $AA x_0 in RR^+$ si ha $lim_(x->x_0) log(x)=log(x_0)$, giusto?
Dov'è che ti blocchi?

Si, dovrei dimostrare quello che hai scritto, sia per la base del logaritmo compresa fra 0 e 1, sia maggiore di 1. Non so come impostare la dimostrazione, per caso devo applicare la definizione di continuità di una funzione per dimostrarlo?

Gi81
Dipende. Puoi sfruttare l' "Inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone", come suggerito da gugo (tenendo presente che il logaritmo è una funzione crescente).
Se però sei all'inizio della teoria dei limiti, penso che l'unica strada sia quella di verificare la definizione: $AA epsilon >0 EE delta >0 $ tale che $|x-x_0| |log_a(x)-log_a(x_0)|

Sk_Anonymous
"Gi8":
Dipende. Puoi sfruttare l' "Inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone", come suggerito da gugo (tenendo presente che il logaritmo è una funzione crescente).
Se però sei all'inizio della teoria dei limiti, penso che l'unica strada sia quella di verificare la definizione: $AA epsilon >0 EE delta >0 $ tale che $|x-x_0| |log_a(x)-log_a(x_0)|
Una volta che ho impostato la disequazione come hai fatto tu, dovrei ricavare la x, in modo tale da delimitare l'intorno di $x_0$ in cui è valida la disuguaglianza?

Gi81
No, $x_0$ è un punto fissato (maggiore di $0$). Tu devi ricavare $delta$ in funzione di $epsilon$.

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