Continuità funzione in due variabili dipendente da parametro, con valore assoluto
Ciao! mi sto esercitando con la continuità delle funzioni in due variabili ed ho visto molti esempi, tuttavia non capisco come risolvere il seguente esercizio:
Studiare al variare del parametro reale $a>0$ la continuità in $(0,0)$ della funzione definita dalla legge:
$ { ( |x|^a siny/(x^2+y)\ \ se (x,y)!= (0,0)),( 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \se (x,y)=(0,0)):} $
In particolar modo quello che più mi preoccupa è la presenza del valore assoluto, come mi comporto?
Ho pensato di applicare la definizione di valore assoluto, ottenendo così due funzioni, una per $x>0$ e l'altra per $x<0$, ma poi cosa dovrei fare?
Ho notato poi che questa tipologia di esercizio si risolve spesso con le coordinate polari, diciamo che a prima vista questa funzione non mi è sembrata adatta ad essere risolta con le coordinate polari ma comunque ho provato ad abbozzare qualcosa, del tipo:
${ ( x=rho cos(vartheta ) ),( y=rho sin(vartheta) ):}$
$lim_(rho -> 0^+) |rho cos(vartheta)|^a sin(rho sin(vartheta))/(rho^2 cos^2(vartheta)+rho sin(vartheta))$
(Ma la quantità dentro il valore assoluto ora dipende da $vartheta$ poichè $rho$ è positivo, che faccio?)
Poi l'espressione sopra si può in qualche modo semplificare, raccogliendo $rho$ al denominatore ad esempio otterrei $rho^(a-1)$ e potrei dire che tende a $0$ se $a>1$, il resto dell'espressione tende pure a $0$, ma comunque rimane il problema del valore assoluto!
Avete qualche piccolo consiglio?
Studiare al variare del parametro reale $a>0$ la continuità in $(0,0)$ della funzione definita dalla legge:
$ { ( |x|^a siny/(x^2+y)\ \ se (x,y)!= (0,0)),( 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \se (x,y)=(0,0)):} $
In particolar modo quello che più mi preoccupa è la presenza del valore assoluto, come mi comporto?
Ho pensato di applicare la definizione di valore assoluto, ottenendo così due funzioni, una per $x>0$ e l'altra per $x<0$, ma poi cosa dovrei fare?
Ho notato poi che questa tipologia di esercizio si risolve spesso con le coordinate polari, diciamo che a prima vista questa funzione non mi è sembrata adatta ad essere risolta con le coordinate polari ma comunque ho provato ad abbozzare qualcosa, del tipo:
Impongo le coordinate polari, cioè
${ ( x=rho cos(vartheta ) ),( y=rho sin(vartheta) ):}$
a questo punto devo calcolare il seguente limite
$lim_(rho -> 0^+) |rho cos(vartheta)|^a sin(rho sin(vartheta))/(rho^2 cos^2(vartheta)+rho sin(vartheta))$
(Ma la quantità dentro il valore assoluto ora dipende da $vartheta$ poichè $rho$ è positivo, che faccio?)
Poi l'espressione sopra si può in qualche modo semplificare, raccogliendo $rho$ al denominatore ad esempio otterrei $rho^(a-1)$ e potrei dire che tende a $0$ se $a>1$, il resto dell'espressione tende pure a $0$, ma comunque rimane il problema del valore assoluto!
Avete qualche piccolo consiglio?
Risposte
Ciao Ema6798, allora in realtà secondo me in generale la sostituzione in coordinate polari è utile solo per quegli esercizi così idioti che si potevano fare anche senza(cioè maggiorando).
Poi in realtà io non vedo il problema, in teoria vorremmo dimostrare che il limite tende a $0$ solo così abbiamo la continuità, quindi vorremmo studiare
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}
$$
e dimostrare che fa $0$, o meglio per quali valori di $\alpha$ fa zero, ma questo è equivalente a studiare il limite del modulo e cioè
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left||x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{|\sin(y)|}{|x^2+y|}
$$
quindi il fatto che ci sia $|x|^\alpha$ non mi sembra creare grandi problemi.
Questo limite si risolve maggiorandolo con qualcosa che tende a zero, perciò ti consiglio di chiederti a chi è asintotico il seno quando l'argomento va a zero e se trovi un maggiorante della funzione $\frac{1}{|x^2+y|}$, questi limiti si fanno tutti con le maggiorazioni e le stime asintotiche
.
Spero basti come "piccolo consiglio", se non dovessi riuscire ancora chiedi pure un "grande consiglio"
Poi in realtà io non vedo il problema, in teoria vorremmo dimostrare che il limite tende a $0$ solo così abbiamo la continuità, quindi vorremmo studiare
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}
$$
e dimostrare che fa $0$, o meglio per quali valori di $\alpha$ fa zero, ma questo è equivalente a studiare il limite del modulo e cioè
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left||x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{|\sin(y)|}{|x^2+y|}
$$
quindi il fatto che ci sia $|x|^\alpha$ non mi sembra creare grandi problemi.
Questo limite si risolve maggiorandolo con qualcosa che tende a zero, perciò ti consiglio di chiederti a chi è asintotico il seno quando l'argomento va a zero e se trovi un maggiorante della funzione $\frac{1}{|x^2+y|}$, questi limiti si fanno tutti con le maggiorazioni e le stime asintotiche
. Spero basti come "piccolo consiglio", se non dovessi riuscire ancora chiedi pure un "grande consiglio"
Se non ricordo male al tentere dell'argomento a 0 il $siny ~ y$ ed un maggiorante della funzione $1/|x^2+y|$ potrebbe essere $1/|y|$ ad esempio, essendo $x^2$ sempre positivo.
Ottimo!
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