Continuità funzione in due variabili
Buongiorno!
Sto risolvendo questo tipo di esercizio:
"Stabilire dove è continua la funzione"
$f(x,y)=$
(a sistema)
$(xsiny)/(x^2+y^2)^(1/2)$ se $(x,y)$diverso da$(0,0)$
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
Io ho fatto così:
Sono partito calcolando il limite per $ρ$-->0 usando quindi le coordinate polari.
Questo limite vale $0$ (mi torna con le soluzioni)
Io a questo punto so che: "f(x) è continua in xo se esiste il limite di f per x tendente a xo e questo limite coincide con il valore della funzione f in xo."
Il valore del limite di f ce l'ho già ed è 0 ma il mio problema è determinare il valore della funzione in xo!
Infatti se sostituisco $(x,y)=(0,0)$ in $f(x,y)$ ottengo $0/0$!!!
Mi potete spiegare in modo pratico il metodo per risolvere questa parte per favore?
Grazie mille
Sto risolvendo questo tipo di esercizio:
"Stabilire dove è continua la funzione"
$f(x,y)=$
(a sistema)
$(xsiny)/(x^2+y^2)^(1/2)$ se $(x,y)$diverso da$(0,0)$
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
Io ho fatto così:
Sono partito calcolando il limite per $ρ$-->0 usando quindi le coordinate polari.
Questo limite vale $0$ (mi torna con le soluzioni)
Io a questo punto so che: "f(x) è continua in xo se esiste il limite di f per x tendente a xo e questo limite coincide con il valore della funzione f in xo."
Il valore del limite di f ce l'ho già ed è 0 ma il mio problema è determinare il valore della funzione in xo!
Infatti se sostituisco $(x,y)=(0,0)$ in $f(x,y)$ ottengo $0/0$!!!
Mi potete spiegare in modo pratico il metodo per risolvere questa parte per favore?
Grazie mille
Risposte
Grazie mille TeM!!
Sei stato chiarissimo
vediamo quindi se ho capito bene:
Se devo "stabilire dove è continua la funzione:"
$f(x,y)=$
(a sistema)
$(x+y)^2/(x^2+y^2)$ se $(x,y)$è diverso da $(0,0)$
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
devo verificare che il limite nel punto $(0,0)$ sia esattamente zero esatto?
In questo caso tuttavia utilizzando le coordinate polari ottengo come risultato:
$cos^2θ+sin^2θ+2cosθsinθ$
e dato che è diverso da zero il limite non è continuo su tutto $R^2$ giusto?
Sei stato chiarissimo
vediamo quindi se ho capito bene:
Se devo "stabilire dove è continua la funzione:"
$f(x,y)=$
(a sistema)
$(x+y)^2/(x^2+y^2)$ se $(x,y)$è diverso da $(0,0)$
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
devo verificare che il limite nel punto $(0,0)$ sia esattamente zero esatto?
In questo caso tuttavia utilizzando le coordinate polari ottengo come risultato:
$cos^2θ+sin^2θ+2cosθsinθ$
e dato che è diverso da zero il limite non è continuo su tutto $R^2$ giusto?
Perfetto grazie davvero, ho fatto anche gli altri esercizi e mi sono venuti tutti giusti
Solo in due esercizi ho un piccolo dubbio:
"Si stabilisca se f può essere estesa con continuità a $R^2$tranne${(0,0)}$":
1) $f(x,y)= e^(x^2/y)$
e
"Si stabilisca se f può essere estesa con continuità a tutto $R^2$":
2) $sin(xy)/y$
Per il primo esercizio ho fatto tutto, in particolare ho usato il metodo che c'è anche nelle soluzioni per determinare che f non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x, ovvero:
Considero un generico punto dell'asse $x:$ $(x0,0)$ con $x0$ diverso da $0$ si ha che il limite per $(x,y)->(x0,0)$ è $+-∞$ quindi f non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x.
Il mio dubbio dubbio per questo esercizio è questo: perchè non posso anche studiare la continuità per i punti dell'asse y?? Io ho usato lo stesso procedimento e ho trovato che $lim (x,y)->(0,yo)$ di $e^(0/y)=1$
Per il secondo esercizio lo stesso dubbio: perchè non l'ha fatto anche per l'asse delle y?? In tal caso usando sempre quel procedimento il limite mi viene $0$.
P.s.: se ottengo $1$ o $0$ al posto di $∞$ significa che è continua anche per l'asse delle y??
Grazie come sempre TeM
Solo in due esercizi ho un piccolo dubbio:
"Si stabilisca se f può essere estesa con continuità a $R^2$tranne${(0,0)}$":
1) $f(x,y)= e^(x^2/y)$
e
"Si stabilisca se f può essere estesa con continuità a tutto $R^2$":
2) $sin(xy)/y$
Per il primo esercizio ho fatto tutto, in particolare ho usato il metodo che c'è anche nelle soluzioni per determinare che f non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x, ovvero:
Considero un generico punto dell'asse $x:$ $(x0,0)$ con $x0$ diverso da $0$ si ha che il limite per $(x,y)->(x0,0)$ è $+-∞$ quindi f non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x.
Il mio dubbio dubbio per questo esercizio è questo: perchè non posso anche studiare la continuità per i punti dell'asse y?? Io ho usato lo stesso procedimento e ho trovato che $lim (x,y)->(0,yo)$ di $e^(0/y)=1$
Per il secondo esercizio lo stesso dubbio: perchè non l'ha fatto anche per l'asse delle y?? In tal caso usando sempre quel procedimento il limite mi viene $0$.
P.s.: se ottengo $1$ o $0$ al posto di $∞$ significa che è continua anche per l'asse delle y??
Grazie come sempre TeM
Vediamo se ho capito bene:
Nel primo esercizio dato che $f$ non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x ----> allora non può essere nemmeno estesa con continuità ai punti dell'asse y giusto?
Mentre nel secondo, dato che $f$ può essere estesa con continuità ai punti dell'asse $x$ allora si può estendere con continuità anche ai punti dell'asse $y$.
C'è qualcosa che non capisco oppure è giusto così?
Grazie
Nel primo esercizio dato che $f$ non può essere estesa con continuità ai punti dell'asse x ----> allora non può essere nemmeno estesa con continuità ai punti dell'asse y giusto?
Mentre nel secondo, dato che $f$ può essere estesa con continuità ai punti dell'asse $x$ allora si può estendere con continuità anche ai punti dell'asse $y$.
C'è qualcosa che non capisco oppure è giusto così?
Grazie
Hai ragione, io in generale tendo a fare le cose in modo troppo meccanico, devo ragionare di più. In ogni modo ho rivisto tutti gli esercizi ed ho cercato di vedere se li avevo capiti veramente o no, e adesso non solo li ho fatti tutti giusti ma ho anche capito veramente questa ultima parte che ti avevo chiesto, grazie
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