Continuità funzione a due variabili
Eccoci.
Il quesito è il seguente:
appurare se la seguente funzione è continua in (0,0).
$\{(x^2/sqrt(|x|^3+|y|^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
su suggerimento del prof dovrei maggiorare la funzione con una continua che tenda a zero.
fino ad ora ho armeggiato con la norma in più varianti ma senza ottenere risultati apprezzabili; ho anche provato a scomporre la somma dei cubi, nel relativo prodotto.
Ogni consiglio è benaccetto!
G
Il quesito è il seguente:
appurare se la seguente funzione è continua in (0,0).
$\{(x^2/sqrt(|x|^3+|y|^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
su suggerimento del prof dovrei maggiorare la funzione con una continua che tenda a zero.
fino ad ora ho armeggiato con la norma in più varianti ma senza ottenere risultati apprezzabili; ho anche provato a scomporre la somma dei cubi, nel relativo prodotto.
Ogni consiglio è benaccetto!
G
Risposte
fissiamo $(x_1,x_2)$ in modo che $x_1^2+x_2^2=1$ chiamiamo f la tua funzione e consideriamo $f(tx)$ con t reale positivo allora
$f(tx)=sqrt(t)*x_1^2/sqrt(|x_1|^3+|x_2|^3)$ ora l'insieme $x_1^2+x_2^2=1$ è chiuso e limitato e quindi la funzione $|f|$ ha un massimo che chiameremo M
ora $|f(tx)|<=M*sqrt(t)$
quindi sia $x_1^2+x_2^2
prendi $delta$ in modo che $sqrt(delta)
forse può sembrare complicato, è un ragionamento che puoi applicare sempre per funzioni positivamente omogenee ovvero tali che $f(tx)=t^alpha *x$ con $alpha>0$
$f(tx)=sqrt(t)*x_1^2/sqrt(|x_1|^3+|x_2|^3)$ ora l'insieme $x_1^2+x_2^2=1$ è chiuso e limitato e quindi la funzione $|f|$ ha un massimo che chiameremo M
ora $|f(tx)|<=M*sqrt(t)$
quindi sia $x_1^2+x_2^2
prendi $delta$ in modo che $sqrt(delta)
forse può sembrare complicato, è un ragionamento che puoi applicare sempre per funzioni positivamente omogenee ovvero tali che $f(tx)=t^alpha *x$ con $alpha>0$
Grazie mille per la celere risposta!
Purtroppo, non avendo tratto le funzioni omogenee, non posso sfruttare questo metodo.hai per caso in mente una via alternativa? altrimenti non fa niente, hai già fatto molto!
Purtroppo, non avendo tratto le funzioni omogenee, non posso sfruttare questo metodo.hai per caso in mente una via alternativa? altrimenti non fa niente, hai già fatto molto!
Non sono molto pratico di limiti in due variabili, ma la butto comunque là: da definizione di continuità ($f(x,y) text( è continua in ) x_0 \harr lim_((x,y)->x_0) f(x,y) = f(x_0)$) non basterebbe semplicemente controllare se, detta $f(x, y)$ la tua funzione,
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = f(0, 0) = 0$ ?
Se si, la tua funzione è continua in $x_0 = (0, 0)$, altrimenti no.
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = f(0, 0) = 0$ ?
Se si, la tua funzione è continua in $x_0 = (0, 0)$, altrimenti no.
Ciao 
giustamente, "basterebbe" dimostrare che il limite della funzione coincide con il valore della funzione nel punto, ed è proprio per dimostrare ciò che cerco di maggiorarla con una funzione continua che tenda a 0. a quel punto il limite cercato vale proprio 0.
al momento però mi manca la maggiorazione
giustamente, "basterebbe" dimostrare che il limite della funzione coincide con il valore della funzione nel punto, ed è proprio per dimostrare ciò che cerco di maggiorarla con una funzione continua che tenda a 0. a quel punto il limite cercato vale proprio 0.
al momento però mi manca la maggiorazione
Certo, in altre parole se ho ben capito stai cercando un modo di applicare il "teorema dei carabinieri", cioè di "schiacciare" la tua funzione tra altre due che tendono a 0 in $(0, 0)$.
Io invece intendevo, molto tra le righe a dir la verità, che forse (ma data la mia ignoranza in materia non posso essere sicuro) non è necessario ricorrere al teorema (e quindi cercare una maggiorazione), ma è possibile risolvere il limite in coordinate polari.
Io invece intendevo, molto tra le righe a dir la verità, che forse (ma data la mia ignoranza in materia non posso essere sicuro) non è necessario ricorrere al teorema (e quindi cercare una maggiorazione), ma è possibile risolvere il limite in coordinate polari.
Più semplicemente, $|x|^3<=|x|^3+|y|^3$, potresti usare la seguente maggiorazione:
$x^2/\sqrt(|x|^3+|y|^3)=[x^4/(|x|^3+|y|^3)]^(1/2)<=[x^4/|x|^3]^(1/2)=|x|^(2/3) \quad$.
$x^2/\sqrt(|x|^3+|y|^3)=[x^4/(|x|^3+|y|^3)]^(1/2)<=[x^4/|x|^3]^(1/2)=|x|^(2/3) \quad$.
grazie mille!
per chiudere degnamente il post, avete anche qualche consiglio riguardo lo studio della continuità in (0,0) della seguente variante della funzione citata sopra?
$\{(sqrt(|y|)x/sqrt(|x|^3+|y|^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
per ora non ho idee, ma sto crollando dal sonno.domani la riprendo e vediamo cosa salterà fuori.buonanotte a tutti
G
per chiudere degnamente il post, avete anche qualche consiglio riguardo lo studio della continuità in (0,0) della seguente variante della funzione citata sopra?
$\{(sqrt(|y|)x/sqrt(|x|^3+|y|^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
per ora non ho idee, ma sto crollando dal sonno.domani la riprendo e vediamo cosa salterà fuori.buonanotte a tutti
G
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo