Continuità funzione a due variabili
Buongiorno, mi sono imbattuto in questo esercizio (preso da un testo d'esame) e vorrei alcuni chiarimenti sul suo svolgimento.
Eccolo:
''Si consideri la funzione: f(x,y)={y se y=x, xln(((x)^(2))+((y)^(2))) se y≠x}
Trovare i punti di discontinuità, stabilire poi se in (0,0) essa è derivabile in ogni direzione,differenziabile.''
per trovare i punti di discontinuità devo sostituire la x alla y e quindi risolvere un limite a una variabile?
Grazie.
Eccolo:
''Si consideri la funzione: f(x,y)={y se y=x, xln(((x)^(2))+((y)^(2))) se y≠x}
Trovare i punti di discontinuità, stabilire poi se in (0,0) essa è derivabile in ogni direzione,differenziabile.''
per trovare i punti di discontinuità devo sostituire la x alla y e quindi risolvere un limite a una variabile?
Grazie.
Risposte
$ f(x;y)=y $se $y=x$
$f(x;y)= xln(x^2+y^2)$ se $y≠x$
mettendo il segno del dollaro le formule si vedono meglio e gli utenti sono invogliati a leggere e quindi a rispondere
Detto ciò veniamo al nostro problema: a me piace ragionare sul grafico, cerco sempre di immaginarmelo e per questo faccio lo studio del segno. Ora l'argomento del logaritmo è $x^2+y^2$ che visualizzo come l'insieme delle circonferenze con centro nell'origine, se i punti sono fuori della circonferenza di raggio 1 il logaritmo sarà positivo, se sono dentro sarà negativo se si trovano sulla circonferenza il logaritmo varrà 0, quindi se cammino lungo la circonferenza di raggio unitario trovo che la mia funzione vale ovunque 0, ma quando intercetto la bisettrice di I e III quadrante ($y=x$) la mia funzione vale nel punto $P(1;1)$
$f(1;1)=1$ e nel punto $Q(-1;-1)$ $f(-1;-1)=-1$, quindi direi che qui abbiamo delle discontinuità, aren't they?
$f(x;y)= xln(x^2+y^2)$ se $y≠x$
mettendo il segno del dollaro le formule si vedono meglio e gli utenti sono invogliati a leggere e quindi a rispondere
Detto ciò veniamo al nostro problema: a me piace ragionare sul grafico, cerco sempre di immaginarmelo e per questo faccio lo studio del segno. Ora l'argomento del logaritmo è $x^2+y^2$ che visualizzo come l'insieme delle circonferenze con centro nell'origine, se i punti sono fuori della circonferenza di raggio 1 il logaritmo sarà positivo, se sono dentro sarà negativo se si trovano sulla circonferenza il logaritmo varrà 0, quindi se cammino lungo la circonferenza di raggio unitario trovo che la mia funzione vale ovunque 0, ma quando intercetto la bisettrice di I e III quadrante ($y=x$) la mia funzione vale nel punto $P(1;1)$
$f(1;1)=1$ e nel punto $Q(-1;-1)$ $f(-1;-1)=-1$, quindi direi che qui abbiamo delle discontinuità, aren't they?
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