Continuità funzione a due variabili

[Vsc1]

Salve a tutti, ho la seguente funzione :

$f(x,y)=\{(1/(x^2+y^2)*arctan(x^2+y^2) se y!=0) ,(ln(x+e) se y=0) :}$
devo vedere se è continua nell'origine quindi il limite della funzione per $(x,y)$ che tende a $(0,0)$ deve essere uguale $1$ procedere, mi potete aiutare?
Grazie

[porzio1]

con le coordinate polari
$lim_{rho \to 0}arctanrho^2/rho^2=1$

[Vsc1]

grazie, io pensavo di utilizzare $|f(x_0 + \rho cos \theta,y_0 + \rho sen \theta) - l|<= g(\rho) ma non c'era bisogno , se posso vorrei chiedere se invece dovrei utilizzare questo teorema per questa funzione:

$f(x,y)=\{((2x^3cosy)/(x^2+y^2) (x,y) != (0,0)) ,(0 (x,y) = (0,0)) :}$

non credo sia immediato come la precedente o no?

[porzio1]

sì,in questo caso sono gradite delle maggiorazioni

$|{2x^3cosy}/{x^2+y^2}|leq|(2x^3)/(x^2+y^2)|$

il secondo termine,in coordinate polari è uguale a $|(2rho^3cos^3theta)/rho^2|$ ed è maggiorato da $(2rho^3)/rho^2=2rho$

[Vsc1]

ok grazie mille

[Vsc1]

un'ultima cosa... nella prima funzione il punto $(0,0)$ è stazionario?

[porzio1]

no perchè ,gia fermandosi alla derivata parziale rispetto alla x ,si ha
$ (partial f)/(partial x) (0,0)=1/e $

[Vsc1]

scusa mi potresti dire il procedimento? perchè a me mi risultan che non esiste perchè al den. ho $(x^2+y^2)^2$

[porzio1]

ma io ho calcolato quella rispetto alla x
$f(x,0)=ln(x+e)$

[Vsc1]

ah già grazie