Continuità funzione a 2 variabili e limiti alla frontiera
Salve, mi viene proposto questo esercizio:
"Dire su quale sottoinsieme del piano si può affermare che la funzione
$f(x,y)=(x^2+3yx+2)/(x^2 + 2xy + y^2)$
è continua, senza necessità di calcolare limiti.
Si provi poi a calcolare i limiti alla frontiera dell'insieme di definizione."
Come devo procedere? Sono alle prime armi con le funzioni di 2 variabili... grazie!
"Dire su quale sottoinsieme del piano si può affermare che la funzione
$f(x,y)=(x^2+3yx+2)/(x^2 + 2xy + y^2)$
è continua, senza necessità di calcolare limiti.
Si provi poi a calcolare i limiti alla frontiera dell'insieme di definizione."
Come devo procedere? Sono alle prime armi con le funzioni di 2 variabili... grazie!
Risposte
si tratta di una funzione razionale fratta, che quindi è sempre continua in tutto il suo dominio
Spero di non sbagliarmi perchè sono un po' arruggunito..
Sappiamo che somme , prodotti, reciproco .... composte di funzioni continue (con solite ipotesi) sono continue.
Allora essendo $ f(x,y)=(x^2+3yx+2)/(x^2 + 2xy + y^2) $ una funzione razionale (cioè frazione di due polinomi) è continua nel propio dominio.
dominio di f è ${(x,y)inR^2\quad:\quad x^2 + 2xy + y^2\ne 0}={(x,y)inR^2\quad:\quad (x+y)^2\ne 0}={(x,y)inR^2\quad:\quad y\ne -x}$
Cioè il dominio è tutto R^2 meno la retta y=-x
Ora devi calcolare i limiti nei punti della frontiera (cioè i punti della retta y=-x) .
Se $(x_0,y_0)$ è un punto di frontiera diverso da $(1,-1)\quade\quad(-1,1)$
Semplicemente "sostituendo" si può vedere che viene + infinito
per $(x_0,y_0=(1,-1))$ possiamo vedere che
(restrizione sulla retta x=1) $ f(1,y)=(+3y+3)/(1 + 2y + y^2) =(3(y+1))/(y+1)^2=3/(y+1)$
che con y che tende a $(-1)^+$ tende a + infinito e con y che tende a $(-1)^-$ tende a - infinito
Allora il limite non esiste
Direi analogo per l'altro punto (prova a farlo tu)
Aiutati con i grafici del dominio.
Sappiamo che somme , prodotti, reciproco .... composte di funzioni continue (con solite ipotesi) sono continue.
Allora essendo $ f(x,y)=(x^2+3yx+2)/(x^2 + 2xy + y^2) $ una funzione razionale (cioè frazione di due polinomi) è continua nel propio dominio.
dominio di f è ${(x,y)inR^2\quad:\quad x^2 + 2xy + y^2\ne 0}={(x,y)inR^2\quad:\quad (x+y)^2\ne 0}={(x,y)inR^2\quad:\quad y\ne -x}$
Cioè il dominio è tutto R^2 meno la retta y=-x
Ora devi calcolare i limiti nei punti della frontiera (cioè i punti della retta y=-x) .
Se $(x_0,y_0)$ è un punto di frontiera diverso da $(1,-1)\quade\quad(-1,1)$
Semplicemente "sostituendo" si può vedere che viene + infinito
per $(x_0,y_0=(1,-1))$ possiamo vedere che
(restrizione sulla retta x=1) $ f(1,y)=(+3y+3)/(1 + 2y + y^2) =(3(y+1))/(y+1)^2=3/(y+1)$
che con y che tende a $(-1)^+$ tende a + infinito e con y che tende a $(-1)^-$ tende a - infinito
Allora il limite non esiste
Direi analogo per l'altro punto (prova a farlo tu)
Aiutati con i grafici del dominio.
Ok, al dominio ci ero arrivato, e avevo escluso la retta $y=-x$.
Avevo anche notato che per le coppie $(1, -1)$ e $(-1, 1)$ usciva una forma indeterminata.
Quello che non mi ha fatto andare avanti è stato la scelta della restrizione.
Perché la retta $x=1$?
grazie per la risposta
Avevo anche notato che per le coppie $(1, -1)$ e $(-1, 1)$ usciva una forma indeterminata.
Quello che non mi ha fatto andare avanti è stato la scelta della restrizione.
Perché la retta $x=1$?
grazie per la risposta
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